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人教版八年级数学上册：13,我们把研究关于,“,两点之间，线段最短,”“,垂线段最短,”,等,问题，称它们为最短路径问题,.,最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题,具体体会如何运用所学知识选择最短路径,.,新 课 引 入,我们把研究关于“两点之间，线段最短”“垂线段最,第十三章 轴对称,13.4,课题学习,最短路径问题,第十三章 轴对称13.4课题学习,问题,1,相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访,海伦，求教一个百思不得其解的问题：,如图，牧马人从,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然后到,B,地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,A,B,l,问题1相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的,知识回答了这个问题这个问题后来被称为,“将军饮马,问题”,你能将这个问题抽象为数学问题吗？,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 你能将这个,l,A,B,C,C,转化为数学问题,当点,C,在直线,l,的什么位置时，,AC,与,BC,的和最小？,分析：,A,B,l,lABCC转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，A,如图，点,A,、,B,分别是直线,l,异侧的两个点，,如何在,l,上找到一个点，使得这个点到点,A,、点,B,的距离的和最短？,联想：,两点之间，线段最短,.,l,A,B,C,B,如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，联想,（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？,（2）我们能否把左图,A,、,B,两点转化到直线,l,的异侧呢？,（3）利用什么知识可以实现转化目标？,分析：,l,A,B,C,l,A,B,C,（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？分析：lABCl,l,A,B,C,B,如图，作点,B,关于直线,l,的对称点,B,.,当点,C,在直线,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,在连接,AB,两点的线中，线段,AB,最短.因此，线段,AB,与直线,l,的交点,C,的位置即为所求.,lABCB 如图，作点B关于直线 l 的对称点B.,在直线,l,上任取另一点,C,，,连接,AC,、,BC,、,B,C,直线,l,是点,B,、,B,的对称轴，,点,C,、,C,在对称轴上，,BC,=,B,C,，,BC,=,B,C,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,=,AB,在,AB,C,中，,AB,AC,+,B,C,，,AC,+,BC,AC,+,B,C,，,即,AC,+,BC,最小,l,A,B,C,B,C,证明：如图,.,在直线 l 上任取另一点C，lABCBC证明：如图.,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称变换，把复杂问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择,方法总结：,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称变换，把复杂问题转化,问题,1 归纳,l,A,B,C,l,A,B,C,B,l,A,B,C,抽象为数学问题,用旧知解决新知,联想旧知,解决实,际问题,A,B,l,问题1 归纳lABClABCBlABC抽象为数学问题用旧,问题,2,（造桥选址问题）如图，,A,和,B,两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN,桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）,思考：,你能把这个问题转化,为数学问题吗？,问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河,如图假定任选位置造桥,MN,，连接,AM,和,BN,，从,A,到,B,的路径是,AM,+,MN,+,BN,，那么折线,AMNB,在,什么情况下最短呢？,a,B,A,b,M,N,由于河宽是固定的，因此当,AM,+,NB,最小时，,AM,+,MN,+,NB,最小.,如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，,分析：,l,A,B,C,a,B,A,b,M,N,A,如图，如果将点,A,沿与河岸垂直的方向平移到点,A,，使,AA,等于河宽，则,AA,=,MN,，,AM,=,A,N,，问题转化为：当点,N,在直线,b,的什么位置时，,A,N,+,NB,最小？,参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.,分析：lABCaBAbMNA 如图，如果将点,如图，沿垂直于河岸的方向平移,A,到,A,，使,AA,等于河宽，连接,A,B,交河岸于点,N,，在点,N,处造桥,MN,，此时路径,AM+MN,+,BN,最短.,a,B,A,b,M,N,A,解：,如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA,另任意造桥,M,N,，,连接,AM,、,BN,、,A,N,.,由平移性质可知，,AM,A,N,，,AM,A,N,，,AA,MN,M,N,.,AM+MN+BN,AA,+,A,B,，,AM,+,M,N,+,BN,AA,+,A,N,+,BN,.,在,A,N,B,中，由线段公理知,A,N,+,BN,A,B,，,AM,+,M,N,+,BN,AM+MN+BN,.,证明：,a,B,A,b,M,N,A,N,M,另任意造桥MN，由平移性质可知，AM+MN+BNAA,总结归纳：,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂的问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。,总结归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴,问题,2 归纳,抽象为数学问题,用旧知解决新知,联想旧知,解决实,际问题,l,A,B,C,问题2 归纳抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实lA,小结归纳,l,A,B,C,l,A,B,C,B,转化,轴对称,变换,平移,变换,两点之间，线段最短.,小结归纳lABClABCB转化轴对称平移两点之间，线段最短,1.,如图，直线,l,是一条河，,P,、,Q,是,两个村庄,.,欲在,l,上的某处修建一个水泵站，向,P,、,Q,两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是,（）,P,Q,l,A,M,P,Q,l,B,M,P,Q,l,C,M,P,Q,l,D,M,D,尝试应用：,1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修,2.,如图，牧童在,A,处放马，其家在,B,处，,A,、,B,到河岸的距离分别为,AC,和,BD,，且,AC,=,BD,若点,A,到河岸,CD,的中点的距离为,500,米，则牧童从,A,处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是,米,.,A,C,B,D,河,1000,2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别,人教版八年级数学上册：13,4,、如图所示，,M,、,N,是,ABC,边,AB,与,AC,上两点，在,BC,边上求作一点,P,，使,PMN,的周长最小。,M,P,4、如图所示，M、N是ABC边AB与AC上两点，在BC边上,归纳总结,本节课你有什么收获？,学习了利用轴对称解决最短路径问题,感悟和体会转化的思想,归纳总结本节课你有什么收获？学习了利用轴对称解决最短路径问,补偿提高,如图，一个旅游船从大桥,AB,的,P,处前往山,脚下的,Q,处接游客，然后将游客送往河岸,BC,上，再返,回,P,处，请画出旅游船的最短路径,A,B,C,P,Q,山,河岸,大桥,补偿提高如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山ABC,思路分析：,由于两点之间线段最短，所以首先可连接,PQ,，线,段,PQ,为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为,一条直线,BC,，这样问题就转化为“点,P,，,Q,在直线,BC,的同侧，如何在,BC,上找到,一点,R,，使,PR,与,QR,的和最,小”,A,B,C,P,Q,山,河岸,大桥,思路分析：ABCPQ山河岸大桥,新知,1,运用轴对称解决距离最短问题,运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核,心，所有作法都相同.,新知1运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之,新知,2,利用平移确定最短路径选址,解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平,移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.,新知2利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个,必做题,教材第,91,页复习题,13,第,15,题,.,布置作业,必做题布置作业,
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