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金太阳新课标资源网,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,11/13/2024,10/6/2023,1,11/13/2024,10/6/2023,2,11不等关系,12比较大小,11/13/2024,10/6/2023,3,1.不等式与等式之间主要有哪些异同？,不等式与等式是生活、生产实践中最常见的关系式，其相异的性质主要在与数相乘时，不等式两边乘(除以)的数的符号不同时，结论不同；而等式则不然等式与不等式的性质对比如下表：,11/13/2024,10/6/2023,4,11/13/2024,10/6/2023,5,11/13/2024,10/6/2023,6,2.不等式的证明或比较实数大小有哪些方法及注意事项呢？,证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法,(1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决：,一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系,11/13/2024,2.不等式的证明或比较实数大小有哪些方法及注意事项呢？10/,7,11/13/2024,10/6/2023,8,(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论，或者利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式变成简单易于比较大小的形式，再比较大小得出结论，需要注意的是，有些结论的递推是双向的，而有些是单向的，例如，不等式性质中的对称性就是双向的，而传递性就是单向的，在不等式两边同乘一个数或式子的时候，必须先判断要乘的数或式子的符号，决定相乘后是否改变符号,(3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反证法进行证明，具体可以根据课本对性质4的推论3的证明方法和步骤，它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.,11/13/2024,(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论，或者利用不等,9,例1对于实数,a,、,b,、,c,，判断下列命题的真假：,(1)若,a,b,，则,ac,bc,；,(2)若,a,b,，则,ac,2,bc,2,；,(3)若,a,b,ab,b,2,；,(4)若,a,b,0，则,(5)若,a,b,bc,2,，则,a,b,，此命题是真命题；,(3),a,b,，,a,ab,；,a,b,，,b,b,2,，命题是真命题；,11/13/2024,解析：(1)因未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大,11,11/13/2024,10/6/2023,12,变式训练1如果,a,b,，则下列各式正确的是(),A,a,lg,x,lg,x,b,(,x,0),B,ax,2,bx,2,C,a,2,b,2,D,a,2,x,b,2,x,11/13/2024,变式训练1如果ab，则下列各式正确的是()10/,13,解析：,对于A：当,x,0时，lg,x,R,，当lg,x,0时，,a,lg,x,b,lg,x,(,x,0)不成立，故应排除A；,对于B：,x,R,，当,x,0时，,ax,2,bx,2,，,ax,2,bx,2,不成立，故应排除B；,对于C：,a,2,b,2,(,a,b,)(,a,b,)，又由,a,b,可知,a,b,0，但是,a,b,的符号是不确定的，因此,a,2,b,2,不成立，故应排除C；,对于D：由指数函数的性质可知，2,x,0，,又,a,b,，,a,2,x,b,2,x,成立，故选择D.,答案：,D,11/13/2024,解析：对于A：当x0时，lgxR，当lgx0时，al,14,实数(或式)比较大小的依据是,a,b,a,b,0；,a,b,a,b,0；,a,b,a,b,0，,b,0时，1,a,b,),方法步骤是作差(商)变形判断大于或小于零(大于1或小于1)关键是变形，变形的目的在于便于判断正负常见的变形有因式分解、配方等,11/13/2024,10/6/2023,15,例2已知,x,1，比较,x,3,6,x,与,x,2,6的大小,解析：,(,x,3,6,x,)(,x,2,6),x,3,x,2,6,x,6,x,2,(,x,1)6(,x,1)(,x,1)(,x,2,6)，,x,1，,(,x,1)(,x,2,6)0，,x,3,6,x,x,2,6.,11/13/2024,例2已知x1，比较x36x与x26的大小10/,16,变式训练2设,m,R,，,x,R,，比较,x,2,x,1与2,m,2,2,mx,的大小,11/13/2024,变式训练2设mR，xR，比较x2x1与2m2,17,11/13/2024,10/6/2023,18,例3比较,a,a,b,b,与,a,b,b,a,(,a,、,b,为不相等的正数)的大小,11/13/2024,例3比较aabb与abba(a、b为不相等的正数)的大,19,变式训练3若,m,0，比较,m,m,与2,m,的大小,11/13/2024,变式训练3若m0，比较mm与2m的大小10/6/2,20,例4已知,a,0，试比较,a,与 的大小,11/13/2024,10/6/2023,21,11/13/2024,10/6/2023,22,变式训练4已知,a,，,b,均为正数，,n,N,*,，比较(,a,b,)(,a,n,b,n,)与2(,a,n,1,b,n,1,)的大小,解析：,(,a,b,)(,a,n,b,n,)2(,a,n,1,b,n,1,),a,n,1,ab,n,a,n,b,b,n,1,2,a,n,1,2,b,n,1,ab,n,a,n,b,a,n,1,b,n,1,a,(,b,n,a,n,),b,(,a,n,b,n,),(,a,b,)(,b,n,a,n,)，,a,、,b,R,，,n,N,*,，且,n,1，,当,a,b,0时，,a,b,0，,b,n,a,n,.,(,a,b,)(,b,n,a,n,),a,0时，,a,b,a,n,.,(,a,b,)(,b,n,a,n,)0时，,a,b,0.,所以(,a,b,)(,b,n,a,n,)0.,综上所述，(,a,b,)(,a,n,b,n,)2(,a,n,1,b,n,1,),0.,即(,a,b,)(,a,n,b,n,),2(,a,n,1,b,n,1,),11/13/2024,当ba0时，aban.10/6/2023,24,例5,(一题多解)求证：,a,b,.,分析：,本题可以用比较法证明；也可以用不等式性质得到证明,11/13/2024,10/6/2023,25,11/13/2024,10/6/2023,26,11/13/2024,10/6/2023,27,变式训练5已知,a,b,，,c,b,d,.,证明：,证法1：由,a,b,知,a,b,0，由,c,0，,(,a,c,)(,b,d,)(,a,b,)(,d,c,)0，,a,c,b,d,.,证法2：,c,d,.,又,a,b,，,a,(,c,),b,(,d,)，即,a,c,b,d,.,11/13/2024,变式训练5已知ab，cbd.1,28,例6求下面题目中 的取值范围,(1),m,3；(2),m,2；(3)3,m,2.,11/13/2024,例6求下面题目中 的取值范围10/6/20,29,11/13/2024,10/6/2023,30,11/13/2024,10/6/2023,31,答案：,11/13/2024,答案：10/6/2023,32,例7,设,f,(,x,),ax,2,bx,且1,f,(1),2,2,f,(1),4，求,f,(2)的取值范围,分析：,本题是关于,x,的一元二次函数，可以利用换元法来求解在求解时一定要注意已知条件中,a,、,b,的关系，准确把握,a,、,b,的取值范围，否则容易出错下面我们再用一种新的方法待定系数法来求解,11/13/2024,10/6/2023,33,11/13/2024,10/6/2023,34,f,(2)3,f,(1),f,(1),1,f,(1),2,2,f,(1),4，,5,3,f,(1),f,(1),10，故5,f,(2),10.,11/13/2024,f(2)3f(1)f(1)10/6/2023,35,11/13/2024,10/6/2023,36,例8甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则(),A甲先到教室B乙先到教室,C两人同时到教室 D谁先到教室不确定,分析：,用路程速度,时间，求甲、乙两人所用的时间，再用比较法求解,11/13/2024,10/6/2023,37,答案：,B,11/13/2024,答案：B10/6/2023,38,变式训练8甲、乙两水果商先后分别两次从某地购进水果，甲商每次购20000斤，乙商每次购2万元，若两次购进的价格不同，试判断甲、乙两人谁的购买方式合算(即平均单价低),分析：,先求出两人两次的平均单价，再用比较法解,11/13/2024,变式训练8甲、乙两水果商先后分别两次从某地购进水果，甲,39,11/13/2024,10/6/2023,40,
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