第6讲三角恒等变换与解三角形课件

2018-11-5,#,考情分析总纲目录,考点聚焦,栏目索引,高考导航,第6讲三角恒等变换与解三角形,第6讲三角恒等变换与解三角形,1,第6讲三角恒等变换与解三角形课件,总纲目录,考点一 三角恒等变换,考点二 正弦定理与余弦定理,考点三 解三角形与三角函数的交汇问题,总纲目录考点一 三角恒等变换考点二 正弦定理与余弦定,3,考点一三角恒等变换,1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式,(1)sin(,)=sin,cos,cos,sin,;,(2)cos(,)=cos,cos,sin,sin,;,(3)tan(,)=,.,考点一三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式,(1)sin 2,=2sin,cos,;,(2)cos 2,=cos,2,-sin,2,=2cos,2,-1=1-2sin,2,;,(3)tan 2,=,.,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式,例,(2018四川成都第一次诊断性检测)已知sin,=,则cos,的值为,(),A.,B.,C.,D.,例(2018四川成都第一次诊断性检测)已知sin,答案,A,解析,sin,=,cos,=,sin 2,=2sin,cos,=2,=,=,cos 2,=1-2sin,2,=1-2,=1-,=,cos,=,-,=,.,答案A解析sin=,cos,方法归纳,三角恒等变换的“4大策略”,(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin,2,+cos,2,=tan 45,等;,(2)项的拆分与角的配凑:如sin,2,+2cos,2,=(sin,2,+cos,2,)+cos,2,=(,-,)+,等;,(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;,(4)弦、切互化:一般是切化弦.,方法归纳三角恒等变换的“4大策略”,1.,若,=-,则sin,的值为,(),A.,B.-,C.,D.-,答案,C,=,=-2sin,=-,所以sin,=,.,1.若=-,则sin的值为()答案C,2.,已知tan,=2,tan,=-3,则tan(,-,)=,(),A.1B.-,C.,D.-1,答案,Dtan,=tan,=tan,=-3,而,-,=,-,所以tan(,-,)=tan,=,=,=-1.故选D.,2.已知tan=2,tan=-3,则tan(-)=,考点二正弦定理与余弦定理,1.正弦定理及其变形,在,ABC,中,=,=,=2,R,(,R,为,ABC,的外接圆半径).,变形:,a,=2,R,sin,A,sin,A,=,a,b,c,=sin,A,sin,B,sin,C,.,考点二正弦定理与余弦定理1.正弦定理及其变形,2.余弦定理及其变形,在,ABC,中,a,2,=,b,2,+,c,2,-2,bc,cos,A,b,2,=,a,2,+,c,2,-2,ac,cos,B,c,2,=,a,2,+,b,2,-2,ab,cos,C,.,变形:,b,2,+,c,2,-,a,2,=2,bc,cos,A,cos,A,=,a,2,+,c,2,-,b,2,=2,ac,cos,B,cos,B,=,a,2,+,b,2,-,c,2,=2,ab,cos,C,cos,C,=,.,3.三角形面积公式,S,ABC,=,ab,sin,C,=,bc,sin,A,=,ac,sin,B,.,2.余弦定理及其变形3.三角形面积公式,命题角度一:利用正(余)弦定理进行边角计算,例1,(2018课标全国,17,12分)在平面四边形,ABCD,中,ADC,=,90,A,=45,AB,=2,BD,=5.,(1)求cos,ADB,;,(2)若,DC,=2,求,BC,.,命题角度一:利用正(余)弦定理进行边角计算例1(20,解析,(1)在,ABD,中,由正弦定理得,=,.,由题设知,=,所以sin,ADB,=,.,由题设知,ADB,90,所以cos,ADB,=,=,.,(2)由题设及(1)知,cos,BDC,=sin,ADB,=,.,在,BCD,中,由余弦定理得,BC,2,=,BD,2,+,DC,2,-2,BD,DC,cos,BDC,=25+8-2,5,2,=25.,所以,BC,=5.,解析(1)在ABD中,由正弦定理得=.所以BC=5.,方法归纳,正、余弦定理的适用条件,(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采,用正弦定理.,(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采,用余弦定理.,【注意】应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函,数、统一结构”.,方法归纳正、余弦定理的适用条件【注意】应用定理要注意“三统,例2,在,ABC,中,角,A,B,C,的对边分别是,a,b,c,已知,c,=,sin,A,=,sin,C,cos 2,A,=-,.,(1)求,a,的值;,(2)若角,A,为锐角,求,b,的值及,ABC,的面积.,命题角度二:利用正(余)弦定理进行面积计算,例2在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,解析,(1)在,ABC,中,因为,c,=,sin,A,=,sin,C,由,=,得,a,=,c,=,=3,.,(2)由cos 2,A,=1-2sin,2,A,=-,得,sin,2,A,=,.,由0,A,得,sin,A,=,则cos,A,=,=,由余弦定理,a,2,=,b,2,+,c,2,-2,bc,cos,A,得(3,),2,=,b,2,+(,),2,-2,b,化简得,b,2,-2,b,-15=0,解得,b,=5或,b,=-3(舍).,所以,S,ABC,=,bc,sin,A,=,5,=,.,解析(1)在ABC中,所以SABC=bcsin A=,方法归纳,三角形面积公式的应用原则,(1)对于面积公式,S,=,ab,sin,C,=,ac,sin,B,=,bc,sin,A,一般是已知哪,一个角就使用哪一个公式.,(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和,角的转化.,方法归纳三角形面积公式的应用原则,例3,某新建的信号发射塔的高度为,AB,且设计要求为29米,AB,29.5米.为测量塔高是否符合要求,先取与发射塔底部,B,在同一水,平面内的两个观测点,C,D,测得,BDC,=60,BCD,=75,CD,=40米,并在点,C,处的正上方,E,处观测发射塔顶部,A,的仰角为30,且,CE,=1,米,则发射塔高,AB,=,(),A.(20,+1)米B.(20,+1)米,C.(40,+1)米D.(40,+1)米,命题角度三:正、余弦定理的实际应用,例3某新建的信号发射塔的高度为AB,且设计要求为29米,BC,所以60,A,故,A,=45,.故选B.,1.在ABC中,若A,B,C成等差数列,且AC=,BC=,2.,(2018课标全国,9,5分),ABC,的内角,A,B,C,的对边分别为,a,b,c,.,若,ABC,的面积为,则,C,=,(),A.,B.,C.,D.,答案,C本题考查解三角形及其综合应用.,根据余弦定理得,a,2,+,b,2,-,c,2,=2,ab,cos,C,因为,S,ABC,=,所以,S,ABC,=,又,S,ABC,=,ab,sin,C,所以tan,C,=1,因为,C,(0,),所以,C,=,.故选C.,2.(2018课标全国,9,5分)ABC的内角A,B,C,3.,(2018河南郑州第一次质量检测)在,ABC,中,角,A,B,C,的对边分,别为,a,b,c,且2,c,cos,B,=2,a,+,b,.,(1)求角,C,;,(2)若,ABC,的面积,S,=,c,求,ab,的最小值.,3.(2018河南郑州第一次质量检测)在ABC中,角A,B,解析,(1)解法一:由2,c,cos,B,=2,a,+,b,及余弦定理,得2,c,=2,a,+,b,得,a,2,+,c,2,-,b,2,=2,a,2,+,ab,即,a,2,+,b,2,-,c,2,=-,ab,cos,C,=,=,=-,又0,C,C,=,.,解法二:,=,=,由已知可得2sin,C,cos,B,=2sin,A,+sin,B,则有2sin,C,cos,B,=2sin(,B,+,C,)+sin,B,2sin,B,cos,C,+sin,B,=0,解析(1)解法一:由2ccos B=2a+b及余弦定理,B,为三角形的内角,sin,B,0,cos,C,=-,.,C,为三角形的内角,C,=,.,(2),S,=,ab,sin,C,=,c,sin,C,=,c,=,ab,.,又,c,2,=,a,2,+,b,2,-2,ab,cos,C,=,a,2,+,b,2,+,ab,=,a,2,+,b,2,+,ab,3,ab,ab,12,当且仅当,a,=,b,时取等号.故,ab,的最小值为12.,B为三角形的内角,sin B0,cos C=-.,考点三解三角形与三角函数的交汇问题,例,设函数,f,(,x,)=cos,2,x,-,sin,x,cos,x,+,.,(1)求,f,(,x,)在,上的值域;,(2)已知,ABC,中,角,A,B,C,的对边分别为,a,b,c,若,f,(,B,+,C,)=,a,=,b,+,c,=7,求,ABC,的面积.,考点三解三角形与三角函数的交汇问题例设函数f(x)=co,解析,(1),f,(,x,)=cos,2,x,-,sin,x,cos,x,+,=cos,+1,因为,x,所以2,x,+,所以-,cos,1,所以,cos,+1,2,所以函数,f,(,x,)在,上的值域为,.,(2)由,f,(,B,+,C,)=cos,+1=,解析(1)f(x)=cos2x-sin xcos x+,得cos,=,又,A,(0,),得,A,=,在,ABC,中,由余弦定理,得,a,2,=,b,2,+,c,2,-2,bc,cos,=(,b,+,c,),2,-3,bc,又,a,=,b,+,c,=7,所以5=49-3,bc,解得,bc,=,所以,ABC,的面积,S,=,bc,sin,=,=,.,得cos=,方法归纳,与解三角形有关的交汇问题的关注点,(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.,(2)结合三角形内角和定理、面积公式等,灵活运用三角恒等变换,公式.,方法归纳与解三角形有关的交汇问题的关注点,已知向量,a,=,b,=(-sin,x,sin,x,),f,(,x,)=,a,b,.,(1)求函数,f,(,x,)的最小正周期及,f,(,x,)的最大值;,(2)在锐角,ABC,中,角,A,B,C,的对边分别为,a,b,c,若,f,=1,a,=2,求,ABC,面积的最大值.,已知向量a=,b=(-sin x,sin x),f(x),解析,(1)易得,a,=(-sin,x,cos,x,),则,f,(,x,)=,a,b,=sin,2,x,+,sin,x,cos,x,=,-,cos 2,x,+,sin 2,x,=sin,+,所以,f,(,x,)的最小正周期,T,=,=,当2,x,-,=,+2,k,k,Z时,即,x,=,+,k,k,Z时,f,(,x,)取最大值,.,(2)因为,f,=sin,+,=1,所以sin,=,A,=,.,解析(1)易得a=(-sin x,cos x),因为,a,2,=,b,2,+,c,2,-2,bc,cos,A,所以12=,b,2,+,c,2,-,bc,所以,b,2,+,c,2,=,bc,+12,2,bc,所以,bc,12(当且仅当,b,=,c,时等号成立),所以,S,ABC,=,bc,sin,A,=,bc,3,.,所以当,ABC,为等边三角形时面积取最大值3,.,因为a2=b2+c2-2bccos A,