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,一、频率的定义与性质,二、概率的定义与性质,三、小结,第三节 频率与概率,一、频率的定义与性质二、概率的定义与性质三、小结第三节 频,1.频率的定义,一、频率的定义与性质,定义,在相同条件下，,次试验中,的频数.,记作,1.频率的定义 一、频率的定义与性质 定义在相,2.频率的性质,设,A,是随机试验,E,的任一事件,则,则,事件发生的频率大小表示其发生的频繁程度.,事件大,事件发生就越频繁,这表示事件在一次试,验中发生的可能性就越大.,反之亦然.,2.频率的性质 设A是随机试验E的任一事件,则则事,试验,序号,1 2 3 4 5 6 7,2,3,1 5 1 2 4,22,25,21,25,24,18,27,251,249,256,247,251,262,258,0.4,0.6,0.2,1.0,0.2,0.4,0.8,0.44,0.50,0.42,0.48,0.36,0.54,0.502,0.498,0.512,0.494,0.524,0.516,0.50,0,.,502,波动最小,随,n,的增大,频率,f,呈现出稳定性,例,1,考虑“抛硬币”这个试验,将一枚硬币抛,掷5次,、,50次,、,500次,各做10遍,得到数据如下:,试验1 2 3 4 5 6 7231 5 1,从上述数据可得,(,1,)频率有,随机波动性,所得的,f,即对于同样的,n,不一定相同;,(2),随机波动,其幅度较大,呈现出稳定性.,而逐渐稳定于0.5.,从上述数据可得(1)频率有随机波动性,所得的f即对于同样的n,实验者,德 摩根,蒲 丰,2048,1061,0.5181,4040,2048,0.5069,12000,6019,0.5016,24000,12012,0.5005,这种试验历史上有人做过,得到下图数据:,实验者德 摩根蒲 丰204810610.518140402,例,2,考察英语中特定字母出现的频率,当观,频率有较大幅,度的随机波动.,频率呈现出稳定性.,字母 频率,字母 频率,字母 频率,例2考察英语中特定字母出现的频率,当观频率有较大幅度的随机波,验证频率稳定性的著名实验,高尔顿(Galton)板试验,验证频率稳定性的著名实验高尔顿(Galton)板试验,大量试验证实,大时,逐渐稳定于某个,常数.,这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性.,让试验重复大量次数,以它来表征,然而在实际中,不可能对每一事件都做大量的,试验,而且为了理论研究需要,我们从频率的稳定,性和频率的性质得到启发,给出如下表征事件发生,大小的概率的定义.,大量试验证实,大时,逐渐稳定于某个常数.这种“频率稳定性”即,二、概率的定义与性质,1933年，,苏联数学家,柯尔莫哥洛夫,提出了概,率论的公理化结构，,给出了概率的严格定义，,使概率论有了迅速的发展.,柯尔莫哥洛夫资料,二、概率的定义与性质 1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛,1.概率的定义,定义,事件,有,对于,称为事,1.概率的定义 定义事件,有对于称为事,2.概率的性质,证,由概率可列可加性,由概率的非负性知,则,2.概率的性质 证由概率可列可加性,由概率的非负性知,互不相容事件,则有,证,由(3.1)式得,证毕.,互不相容事件,则有证由(3.1)式得证毕.,则有,证,再由概率的有限可加性(3.2),得,又由概率的非负性,证毕.,则有证再由概率的有限可加性(3.2),得又由概率的非负性,证,由性质iii得,有,证,由(3.2)式,得,证由性质iii得有证由(3.2)式,得,证,故由(3.2)及(3.3)得,证毕.,证故由(3.2)及(3.3)得证毕.,(3.5)式可以推广到多个事件的情况.,例如,则有,一般,可以用归,纳法证得,(3.5)式可以推广到多个事件的情况.例如,则有一般,可以用,例,1,求在下列三,解,(2)由图示得,例1求在下列三解(2)由图示得,S,A,B,AB,SABAB,三、小结,1.频率,则,三、小结 1.频率 则,的事件,有,2.概率,的事件,有2.概率,Born:,25 Apr.1903 in,Tambov,Tambov,province,Russia,Died:,20 Oct.1987 in,Moscow,Russia,柯尔莫哥洛夫资料,Andrey Nikolaevich,Kolmogorov,返回,Born:25 Apr.1903 in柯尔莫哥洛夫资料A,
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