勾股定理的发现和发展史

勾股定理的发现和发展史中国最早的一部数学著作 一一周髀算经的开头，记载着一段 周公向商高请教数学知识的对话：周公问：我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一 段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。 其中有一条原理：当直角三 角形矩得到的一条直角边 勾等于3,另一条直角边 股等于4的时 候，那么它的斜边 弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就 总结出来的呵。”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到， 我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重 要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就 是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用 弦（c）来表示斜边，则可得：勾八2+股八2二弦八2亦即：aA2+bA2=cA2 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学 家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民 对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹 治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以 确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多 年。其中所说的勾 3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当 的。在稍后一点的九章算术一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说；把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式， 即为： 弦二(勾2+股2) (1/2)亦即：c= (a2+b2) (1/2)中国古代的 数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定 理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数 学家赵爽。赵爽创制了一幅 勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给 出了勾股定理的详细证明。在这幅 勾股圆方图”中，以弦为边长得到 正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方 形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为 b-a,则面积为(b-a) 2。于是便可得如下的式子：4X (ab/2) + (b-a)2=c2化简后便可得：a2+b2=c2亦即：c= (a2+b2) (1/2)赵爽的这 个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、害U、拼、 补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国 古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风 格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发 展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方 法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的 形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重 大意义。事实上，形数统一 ”的思想方法正是数学发展的一个极其重 要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”