非线性方程组数值解法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,6,非线性方程组的迭代解法,/*The Iterative Method for Systems of Nonlinear Equations*/,n,个方程的,n,元非线性方程组的一般形式：,其中 是定义在区域 上的,n,元实值函数，且 中至少有一个是,非线性函数,。,如,一,、非线性,Jacobi,迭代、,Gauss-Seidel,迭代和,SOR,迭代,类似于线性方程组的经典迭代法,我们有：,算法,6,.1,（非线性,Jacobi,迭代,）,for,k=0,1,2,用非线性方程的解法器解,如果迭代停止条件满足，则中止循环并输出,得出,u,。,for,k=0,1,2,用非线性方程的解法器解,如果迭代停止条件满足，则中止循环并输出,算法,6.2,（非线性,Gauss-Seidel,迭代,）,得出,u,。,for,k=0,1,2,用非线性方程的解法器解,如果迭代停止条件满足，则中止循环并输出,算法,6.3,（非线性,SOR,迭代,）,得出,u,。,这三种方法一定条件下收敛，但一般较慢。,令：,二、,Newton,迭代法及其改进算法,Newton,迭代法的迭代格式,利用多元函数的,Taylor,展开公式得,其中,称之为函数 的,Jacobi,矩阵,称上述公式为,Newton,迭代格式。,Newton,迭代方法在实际迭代时，转化为求,方程组的解,每,迭代一次需要计算,Jacobi,矩阵并求解方程组，故计算量很大。拟,Newton,方法就是对上述问题的改进。,解：,例：,用,Newton,迭代法求解下列方程组,取,解方程组,即,计算结果如下,要求,精度,迭代,次数,0.001,2,(,1.0000 1.0000,),0.0001,3,(,1.0000 1.0000,),方程组的,近似解,Broyden,秩,1,方法（拟,Newton,方法中的一种）,利用多元函数的,Taylor,展开公式得,写成矩阵形式,下列关系式称之为拟,Newton,方程,令,秩,1,矩阵,待定向量,代入拟,Newton,方程得,唯一确定,引理,6,.1,如果矩阵 非奇异，,如果 ，则 也可逆，且有,的计算公式：,Broyden,秩,1,方法的迭代公式变为：,Broyden,秩,1,算法,选取初值,For,k=0,1,2,计算,利用前式计算,满足给定的精度要求，迭代终止。,Broyden,秩,1,算法,选取初值,For,k=0,1,2,计算,利用前式计算,满足给定的精度要求，迭代终止。,