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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1 认识一元二次方程,第1课时 一元二次方程,1,理解一元二次方程的概念并掌握其一般形式；,2,经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并从中体会方程的模型思想,你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗,?,1.如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的局部折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？,对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？,2.,观察下面等式,：,10,2,11,2,12,2,13,2,14,2,你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？,如果设五个连续整数中的第一个数为,x,，那么后面四个数依次可表示为：,.,x,1,x,2,x,3,x,4,根据题意，可得方程：,(x,1),2,(x,2),2,(x,3),2,(x,4),2,x,2,由上面二个问题我们可以得到二个方程：1(100 2x)(50 2x)=36002,(x,1),2,(x,2),2,(x,3),2,(x,4),2,x,2,化简上面二个方程可得：,14x2 300 x1400=0,2x28x200.,上述二个方程有什么共同特点？,1.,只含有一个未知数；,2.,未知数的最高次数是,2；3.,整式方程,观察这二个方程 14x2 300 x1400=0,2x28x200.,概念：,只含有的，并且都可以化,为 的形式，这样的,方程叫做一元二次方程,一个未知数,x,整式方程,ax,2,bx,c,0,(,a,b,c,为常数,a0,),我们把,ax,2,bx,c,0(a,，,b,，,c,为常数,a0),称为一元二次方程的一般形式，其中,ax,2,，,bx,，,c,分别称为二次项、一次项和常数项，,a,，,b,分别称为二次项系数和一次项系数,【,定义,】,以下方程哪些是一元二次方程?为什么?,(2)2x,2,5xy,6y,0,(5)x,2,2x,3,1,x,2,(1)7x,2,6x,0,答案,:,(1),、,(4),(3)2x,2,1,0,1,3x,(4),0,y,2,2,【,跟踪训练,】,1.把以下方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：,3x,2,5x,1,0,x,2,+x,8,0,3,-5,1,1,1,-8,-7,0,4,或,7x,2,-4,0,7,0,-4,-7x,2,+4,0,2.,关于,x,的方程,(k,3)x,2,2x,1,0,当,k,时，是一元,二次方程,3.,关于,x,的方程,(k,2,1)x,2,2(k,1)x,2k,2,0,当,k,时，是一元一次方程,当,k,时，是一,元二次方程,3,1,1,总结：,ax,2,bx,c,(a,，,b,，,c,为常数,a,),称为一元二次方程的一般形式；当,a=0,b,时称为一元一次方程的一般形式,4,从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽,4,尺，竖着比门框高,2,尺，另一个醉汉让他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程,4,尺,2,尺,x,x,4,x,2,数学化,x,2,12 x,20,0,配方法,我们通过配成,完全平方式,的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为,配方法,(solving by completing the square),回顾与复习,1,平方根的意义,:,完全平方式,:,式子,a,2,2ab+b,2,叫完全平方式,且,a,2,2ab+b,2,=(a,b),2,.,如果,x,2,=a,那么,x=,用配方法解一元二次方程的方法的,助手,:,用配方法解一元二次方程的,步骤,:,1.,化,1:,把二次项系数化为,1(,方程两边都除以二次项系数,);,2.,移,项,:,把常数项移到方程的右边,;,3.,配方,:,方程两边都加上一次项系数,绝对值,一半的平方,;,4.,变,形,:,方程左边配方,右边合并同类项,;,5.,开,方,:,根据平方根意义,方程两边开平方,;,6.,求,解,:,解一元一次方程,;,7.,定,解,:,写出原方程的解,.,公式法,一般地,对于一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),上面这个式子称为一元二次方程的求根公式,.,用求根公式解一元二次方程的方法称为,公式法,(solving by formular).,老师提示,:,用,公式法,解一元二次方程的,前提,是,:,1.,必须是一般形式的一元二次方程,:,ax,2,+bx+c=0(a0).,2,-4ac0.,回顾与复习,2,因式分解法,当一元二次方程的一边是,0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解,.,这种用分解因式解一元二次方程的方法称为,因式,分解法,.,老师提示:,1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;,2.关键是熟练掌握因式分解的知识;,3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.,回顾与复习,3,运用方程还能解决什么问题,例1 如图,某海军基地位于,A,处,在其正南方向200海里处有一目标,B,在,B,的正东方向200海里处有一重要目标,C.,小岛,D,位于,AC,的中点,岛上有一补给码头;小岛,F,位于,BC,上且恰好处于小岛,DA,出发,经,B,到,C,匀速巡航,一艘补给船同时从,D,出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.,(1).小岛D与小岛F相距多少海里?,(2).军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里),源于生活,服务于生活,东,北,A,B,C,D,E,F,行家看门道,解:(1)连接DF,那么DFBC.,例题欣赏,东,北,A,B,C,D,E,F,C=45,0,.,行家看门道,解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.,在RtDEF中，根据勾股定理可得方程,例题欣赏,东,北,A,B,C,D,E,F,随堂练习,1.九章算术“勾股章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?,解,:,设甲,乙相遇时所用时间为,x,根据题意,得,(7x-10),2,=(3x),2,+10,2,.,x,1,=3.5,x,2,=0(,不合题意,舍去,).,答,:,甲走了步,乙走了步,.,大意是说:甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远?,乙,:3x,甲,:,10,A,B,C,7x-10,整理得,:2x,2,-7x=0.,解这个方程,得,3x=33.5=10.5,7x=73.5=24.5.,动脑筋,争先赛,2.,绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为,900,平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多,10,米,那么绿地的长和宽各为多少,?,x,x+10,想一想,先胜为快,3.,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.,x,60-2x,40-2x,800cm,2,答,:,彩纸条的宽约为,2.1cm.,4.,),(数字问题)两个连续奇数的积是 323，求这两个数,解法一：设较小奇数为 x，那么另一个为 x2，,依题意，得 x(x2)323.,整理后，得 x22x3230.,解得 x117，x219.,由 x17，得 x219.,由,x,19,，得,x,2,17.,答：这两个奇数是,17,19,或者,19,，,17.,解法二：设较小的奇数为 x1，那么较大的奇数为 x1.,依题意，得(x1)(x1)323.,整理后，得 x2324.,解得,x,1,18,，,x,2,18.,当,x,18,时，,18,1,17,18,1,19,；,当,x,18,时，,18,1,19,，,18,1,17.,答：两个奇数分别为,17,19,或者,19,，,17.,解法三：设较小的奇数为 2x1，那么另一个奇数为 2x1.,依题意，得(2x1)(2x1)323.,整理后，得 4x2324.,解得,2,x,18,，或,2,x,18.,当,2,x,18,时，,2,x,1,18,1,17,，,2,x,1,18,1,19,；,当,2,x,18,时，,2,x,1,18,1,19,，,2,x,1,18,1,17.,答：两个奇数分别为,17,，,19,或者,19,，,17.,列方程解应用题的一般步骤是,:,1.,审,;,2.,设,;,3.,列,;,4.,解,;,5.,验,;,6.,答,.,列方程解应用题的关键是,:,找出,相等关系,.,课堂小结,
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