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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十四单元 随机变量及其分布,知识体系,第三节 离散型随机变量的均值与方差,基础梳理,x,p,均值,数学期望,1.离散型随机变量的均值与方差,若离散型随机变量X的分布列为,(1)均值,称 为随机变量X的,或,，记为E(X)或,即E(X)=,其中 是随机变量X的可能取值，是概率，0,i=1,2,n,它反映了离散型随机变量取值的,.,平均水平,（2）方差,一般地，若离散型随机变量X的概率分布列如上表所示，,则 (=E(X)描述了 (i=1,2,n)相对于均值的偏离程度，故,（其中 0,i=1,2,n,)刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差.记为,或,也可用公式V(X)=计算，其算术平方根称为X的标准差，即,.,2.均值与方差的性质,（1）E(aX+b)=aE(X)+b;,(2)V(aX+b)=a2V(X)(a、b为实数).,V(X),=V(X),3.两点分布与二项分布的均值、方差,（1）若X服从两点分布，则E(X)=,V(X)=,.,(2)若X,B（n,p）,则E(X)=,V(X)=,.,典例分析,题型一 求随机变量的均值,【例1】某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班的同学和2个B班的同学；乙景点内有2个A班的同学和3个B班的同学，后由于某种原因，甲、乙两景点各有一个同学交换景点参观.求甲景点A班同学数的分布列及期望.,p,p(1-p),np,np(1-p),分析,所有可能的取值为1,2,3.,1,2,3,p,解,设甲景点内A班同学数为,则,P（=1）=,P(=2)=,P(=3)=,故的分布列为,E()=,学后反思,求离散型随机变量X的期望的步骤为：,（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；,（2）计算出X取每一个值时的概率；,（3）写出X的分布列；,（4）利用公式E(X)=求出期望.,举一反三,1.(2009安徽)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是 .同样也假定了D受A、B和C感染的概率都是 .在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）.,解析:,随机变量X的分布列是,X的均值E(X)=,x,1,2,3,p,题型二 求随机变量的方差,【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.,（1）求随机变量X的概率分布列；,（2）求随机变量X的期望与方差.,分析,（1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;,（2）直接利用数学期望与方差公式求解.,X,0,1,3,P,解,（1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的概率分布列为,(2)E(X)=,V(X)=,学后反思,求离散型随机变量X的方差的步骤：,（1）写出X的所有取值；,（2）计算P（X=xi）;,(3)写出分布列，并求出期望E(X)；,（4）由方差的定义求出V(X).,说明：,若X,B(n,p)，则E(X)=np，V(X)=np(1-p)；若XH(n,M,N），则E(X)=,V(X)=,举一反三,2.设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.,（1）求X的分布列；,（2）求X的均值E(X)和方差V(X).,解析：,(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.,故X的分布列为,(2)X的均值E(X)和方差V(X)分别为,E(X)=;,V(X)=,X,0,1,2,P,题型三 期望与方差性质的应用,【例3】有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两个建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：,其中X和分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂的材料哪一种稳定性较好.,X,110,120,125,130,135,P,0.1,0.2,0.4,0.1,0.2,100,115,125,130,145,P,0.1,0.2,0.4,0.1,0.2,分析,首先看两建材厂的材料的抗拉强度的均值，然后再比较它们的方差.,解,E(X)=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125.,E()=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125.,V(X)=,V()=,由于E(X)=E(),而V(X)V()，故甲建材厂的材料稳定性较好.,学后反思,离散型随机变量的均值和方差都是随机变量的特征数，均值反映了随机变量的平均取值，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.在进行决策时，一般先根据均值的大小来决定，当均值相同或相差不大时，再去利用方差来决策.,举一反三,3.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0p1）,用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数.,（1）求方差V(X)的最大值；,（2）求 的最大值.,解析：,(1)随机变量X的所有可能取值为0、1,并且有P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,从而E(X)=0(1-p)+1p=p.,V(X)=,当p=时，V(X)取得最大值14.,(2),0p1,当且仅当 ,即 时取等号，,故当 时，取得最大值 .,题型四 期望与方差的综合应用,【例4】(14分)（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为.,(1)求的分布列；,（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；,（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？,分析,求的分布列时，要先求取各值时的概率.,解,（1）的所有可能取值有6,2,1,-21,P(=6)=0.63,.2,P(=2)=0.25,.3,P(=1)=0.1,4,P(=-2)=.5,故的分布列为,7,6,2,1,-2,p,0.63,0.25,0.1,0.02,(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34,.9,(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为,E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01,=4.76-x(0 x0.29).12,依题意，E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313,所以三等品率最多为3%.14,学后反思,本题主要考查学生运用知识，迁移知识的能力.解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题，利用已学的知识进行处理，这也是今后高考的一大热点.,举一反三,4.(2009陕西)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布如下：,（1）求a的值和的数学期望；,（2）假设一月份与二月份被消费者设诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.,0,1,2,3,p,0.1,0.3,2a,a,解析:,(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2.,0,1,2,3,p,0.1,0.3,0.4,0.2,的概率分布为,E()=00.1+10.3+20.4+30.2=1.7.,(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”.,则由事件的独立性得,P()=P(=2)P(=0)=20.40.1=0.08,P()=P(=1)=0.3 =0.09,P(A)=P()+P()=0.08+0.09=0.17.,故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.,易错警示,【例】盒子里有大小相同的10个球，其中标号为1的有3个球，标号为2的有4个球，标号为5的有3个球.第1次从盒子中任取1个球，放回后第2次再任取1个球（假设取到的每个球的可能性都相同）.记第1次与第2次取得球的标号之和为X,求随机变量X的分布列.,错解,由题意可知X可取3,6,7;,P(X=3)=C120.30.4=0.24;P(X=6)=C120.30.3=0.18;,P(X=7)=C120.40.3=0.24.,故随机变量X的分布列为,X,3,6,7,P,0.24,0.18,0.24,错解分析,错解忽视两次取到的球的标号相同，因而随机变量X的取值为2,3,4,6,7,10.,正解,由题意可知，随机变量X的取值是2,3,4,6,7,10,且P(X=2)=0.30.3=0.09,P(X=3)=C120.30.4=0.24,P(X=4)=0.40.4=0.16,P(X=6)=C120.30.3=0.18,P(X=7)=C120.40.3=0.24,P(X=10)=0.30.3=0.09.,故随机变量X的分布列为,X,2,3,4,6,7,10,P,0.09,0.24,0.16,0.18,0.24,0.09,考点演练,10.刚上大学的甲进校时购买了一部新手机，他把手机号码抄给同学乙，第二天，同学乙在准备给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复，求拨号次数不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望.,解析:,由于第i次拨对甲的手机号码的概率均为 ,拨号次数不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望,E(3)=,11.(2009天津模拟)某箱中有红球和白球若干，有放回地抽取两次球，每次随机抽取1个球，假设事件A“取出的2个球中至多有1个是白球”的概率P（A）=0.91.,（1）求从该箱中任取1个球是白球的概率p;,(2)若该箱中共有100个球，从中任意抽取2个球，表示取出的2个球中红球的个数，求的分布列和期望.,解析：,(1)记 表示事件“取出的2个球中无白球”，表示事件“取出的2个球中恰有1个是白球”，则 、互斥，且 ,故P（A）=P()=P()+P(),=,于是0.91=,解得 ,(舍)，所以p=0.3.,(2)的可能取值为0,1,2,若该箱共有100个球，由(1)知白球有1000.3=30个，红球有70个.,故P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.,所以的分布列为,E()=,0,1,2,P,12.(2009江西)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额.,（1）写出的分布列；,（2）求数学期望E().,解析：,(1)的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.,P(=0)=,P(=5)=,P(=10)=,P(=15)=,P(=20)=,P(=25)=,P(30)=.,(2),E()=,0,5,10,15,20,25,30,P,
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