1-5-线性空间的同构

,哈尔滨工程大学,理学院,矩阵论教学团队,Department of Mathematics,College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材,矩阵论教程,国防工业出版社,2012,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,http:/,/,授课预计,(8,学时,),1,2,3,4,第一章 线性空间与线性映射,线 性 空 间,线 性 子 空 间,线性映射与线性变换,线性变换的不变子空间,5,线性空间的同构,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2,掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；,3,理解线性映射及线性变换的概念，掌握线性映射及变,换 的矩阵表示。掌握线性映射的值域、核等概念,.,重点,:,线性空间的概念；子空间的维数定理,；,线性映射,及线性变换,;,不变子空间,难点,:,基变换与坐标变换,;,不变子空间,4,理解线性变换的不变子空间得相关概念和性质,1,，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；,线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的抽象化。,本章将给出线性映射和线性变换的概念与性质，同时也建立了矩阵和线性映射及线性变换之间的一种关系,线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的回顾和延伸。,线性空间的同构,1.5,我们知道，在数域,F,上的,n,维线性空间,V,中取定,一组基后，,V,中每一个向量 有唯一确定的坐标,:,则 与对应，就得到,V,到,对于,V,中每一个向量,令在这组基下的坐标为,的一个映射,向量的坐标是,F,上的,n,元数组，因此属于,这样一来，取定了,V,的一组基,反过来，对于 中的任一元素,是,V,中唯一确定的元素，并且,:,即 也是满射,.,因此，,是,V,到 的一一对应,.,这个对应的重要性表现在它与运算的关系上,.,设 都是数域,F,上的线性空间，如果映射,具有以下性质：,则称的一个,同构映射,，并称线性空间,同构,，记作,ii),iii),i),为双射,定义,为,V,的一组基，则前面,V,到 的一一对应,例,1.,V,为数域,F,上的,n,维线性空间，,这里 为在 基下的坐标,就是一个,V,到 的同构映射，所以,定理,1,数域,F,上任一,n,维线性空间都与,F,n,同构,.,同构映射，则有：,设 是数域,F,上的线性空间，的,同构映射的性质,中分别取,证：,在同构映射定义的条件,iii),即得,线性相关（线性无关）,.,V,中向量组,线性相关（线性无关）,的充要条件是它们的象,证,因为由,可得,反过来，由,可得,而是一一对应，只有,所以可得,因此，线性相关（线性无关）,线性相关（线性无关）,.,的逆映射为 的同构映射,.,证,设为,V,中任意一组基,.,由,2,，,3,知，为的一组基,.,所以,任取,I,为恒等变换,.,证,首先是,1,1,对应，并且,由于是同构映射，有,同理，有,所以，为的同构映射,.,再由是单射，有,是的子空间，且,若,W,是,V,的子空间，则,W,在下的象集,证,首先,，,其次，对,有,W,中的向量,使,于是有,由于,W,为子空间，所以,从而有,所以是的 子空间,.,显然，也为,W,到的同构映射，即,两个同构映射的乘积还是同构映射,.,证：,设 为线性空间的同构,任取,有,映射，则乘积 是 的,1,1,对应,.,所以，乘积 是 的同构映射,.,数域,F,上的两个有限维线性空间 同构,同构关系具有：,反身性：,对称性：,传递性：,定理,2,证：,若由性质,2,之,4,）,即得,若,有,例,2,、,把复数域看成实数域,R,上的线性空间,，,证法一,：证维数相等,证明：,首先，可表成,其次，若 则,所以，,1,，,i,为,C,的一组基，,又，,所以，,故，,证法二：,构造同构映射,则为,C,到,R,2,的一个同构映射,.,作对应,作成实数域,R,上的线性空间,.,把实数域,R,看成是自身上的线性空间,.,例,3,、,全体正实数,R,+,关于加法,与数量乘法：,证明：并写出一个同构映射,.,证：,作对应,易证为的,1,1,对应,.,且对有,所以，为的同构映射,.,故,方法二：,作对应,易证：为的,1,1,对应，而且也为同构映射,.,事实上，为的逆同构映射,.,Good,Bye,