群论-3-群的表示理论课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,物理学中的群论,主讲 翦知渐,群的表示理论,物理学中的群论主讲 翦知渐群的表示理论,群论,-,群的表示理论,3.2,群的线性表示,3,.3,舒尔引理和正交性定理,3.4,表示的构造,3.5,群表示的特征标,3.6,投影算符,第三章 群的表示理论,抽象群,线性变换,3.7,正则表示,3.8,特征标表的计算,3.9,直积表示,3.1,线性算符及其矩阵表示,群论-群的表示理论3.2 群的线性表示3.3,群论,-,群的表示理论,-,线性算符及其矩阵表示,3.1,线性算符及其矩阵表示,线性代数的准备知识,群的表示理论是群论处理物理问题的基本数学方法,表示理论：用,线性变换,表示,抽象代数,线性空间：,V,是一个非空集合，,F,是一个数域,V,上定义了,加法,，,z = x+y,，,V,对加法成,Abel,群；,F,与,V,的元素之间定义了,数乘,，,y =,k,x,，,且,F,中存在单位元,1,，,k,(,l,x,)=(,kl,),x,；,加法与数乘满足分配律；,那么,V,称为数域,F,上的,线性空间,F,中元素称为标量或数量，,V,中元素称为向量,当系数域,F,为实数域时，,V,称为实线性空间。当,F,为复数域时，,V,称为复线性空间。,1,线性空间与线性变换,群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示3.1 线性算,基矢,线性空间,V,n,上的任意,n,个线性无关的矢量都可以构成,V,n,的一组基矢,一般取,e,1,e,2, ,e,n,为空间,V,n,上的一组,正交归一基矢,内积，内积空间,线性空间,V,n,上的任一矢量,x,，当选择,e,1,e,2, ,e,n,为基矢组时，也可展开为,x,=,x,1,e,1,+,x,2,e,2,+ +,x,n,e,n,x,1,x,2,x,n,即为矢量,x,在基矢,e,1,e,2, ,e,n,上的坐标,x,可以用它的坐标来表示：,x,= (,x,1,x,2,x,n,),常把,(,x,1,x,2,x,n,),写成单列矩阵，称之为,矢量,x,的,列向量表示,群论,-,群的表示理论,-,线性算符及其矩阵表示,基矢群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示,线性空间,V,n,上任意一个矢量,x,V,n,上有唯一的矢量,y,对应规则,称为,V,n,到,V,n,的一个,算符,：,y,=,x,如果以上对应规则是一对一的，则存在逆算符,-1,：,x,=,-1,y,如果空间,V,n,就是空间,V,n,时，,称为空间,V,n,上,的一个算符。,如果,(,x+y,),= ,x,+,y,(,x,),= ,x,则,称为线性算符,。,线性算符,群论,-,群的表示理论,-,线性算符及其矩阵表示,线性空间Vn上任意一个矢量x Vn上有唯一的矢量,算符的矩阵形式,用矩阵形式表示算符，则需引进坐标系,令,e,1,e,2, ,e,n,为空间,V,n,上的一组正交归一,基矢,对任一基矢,e,j,的作用可以写成,n,个基矢的,线性组合,：,利用基矢的正交归一条件,(,e,i,e,j,) =,ij,（也可写为, =,ij,），可得：,A,ij,= (,e,i,e,j,),，,i,j,= 1, 2, ,n,n,n,阶的矩阵,A,算符,在基,e,1,e,2, ,e,n,中的矩阵表示。,群论,-,群的表示理论,-,线性算符及其矩阵表示,2,矩阵表示,算符的矩阵形式利用基矢的正交归一条件(ei,ej) =,对空间的,不同的基矢组,，算符,有,不同的矩阵表示,。,选定一组基矢，一个线性变换可以表示为一个矩阵,；,反过来，,对于一组给定的基矢,e,1,e,2, ,e,n,，,一个矩阵,A,实际上也就是一个线性算符,算符,作用在任一矢量上的结果由,确定。,当然，对应于不同的基矢组，矩阵所确定的算符也是不同的,群论,-,群的表示理论,-,线性算符及其矩阵表示,对空间的不同的基矢组，算符有不同的矩阵表示。群论-群的表示,转移矩阵,：设,e,1,e,2, ,e,n,和,f,1,f,2, ,f,n,是线性空间,V,n,上的两组不同的正交归一化基矢组，若将,f,j,写为,，,j,= 1, 2, ,n,则,S,称为从基,e,1,e,2, ,e,n,到基,f,1,f,2, ,f,n,的转移矩阵,相应地算符,称为转移算符,基矢变换,设：,则：,A = S,-1,AS,，,群论,-,群的表示理论,-,线性算符及其矩阵表示,转移矩阵：设e1, e2, ,en和f1, f2,厄密共轭算符,：对于空间,V,n,上任一算符,，如果有另一个算符,满足以下关系：,(,e,i,e,j,) = (,e,i,e,j,),则算符,称为算符,的厄密共轭算符,如果,e,1,e,2, ,e,n,是正交归一化基矢组，则：,(,e,i,e,j,) = ,k,A,kj,(,e,i,e,k,) = ,k,A,*,jk,(,e,i,e,k,),=,A,*,ji,=,*,ij,= (,A,),ij,在正交归一化基中，算符,的矩阵为,A,，而它的厄密共轭算符,的表示矩阵为,A,的厄米共轭矩阵,A,若,=,，则,称为,厄密算符,，或自共轭算符,厄密算符的表示矩阵为厄密矩阵：,A,=,A,群论,-,群的表示理论,-,线性算符及其矩阵表示,3,几种算符,厄密共轭算符：对于空间Vn上任一算符，如果有另一个算符,幺正算符,：若空间,V,n,上的一个算符,，它对该空间任意两个矢量,x,和,y,作用后，其,内积不变,，即：,(,x,y,),=,(,x,y,),则,称为幺正算符，也称为酉算符。,因为：,(,x,y,) = (,x, ,y,) = (,x,y,),所以幺正算符满足, = ,= 1,，,=,-1,若空间引入正交归一基，则其表示矩阵为,A,=,A,-1,即,幺正算符的表示矩阵为幺正矩阵,只有取,正交归一基,时，幺正（厄密）算符的表示矩阵才是幺正（厄密）矩阵,群论,-,群的表示理论,-,线性算符及其矩阵表示,幺正算符：若空间Vn上的一个算符，它对该空间任意两个矢,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,3.2,群的线性表示,群表示的定义和基本性质,群,G,的线性表示就是一组,与群,G,同态,的,线性变换,，这一组线性变换当然也构成一个群,通过研究,与,G,结构相似,的线性变换群来研究抽象群,线性变换,（通常也称为,算符,）是定义在线性空间中的，这个线性空间就称为,表示空间,。,对于给定的,n,维线性空间，如果,选定一组基矢,，其中的任一线性变换就可以表示为一个,n,阶方阵,群的线性表示常用矩阵的形式来描述，称为,矩阵表示,。我们对矩阵更为熟悉，所以就从矩阵形式的描述开始,群论-群的表示理论-群的线性表示3.2 群的线性表示群,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,若矩阵群和群,G,是,同构关系,，则这个表示就称为,忠实表示,若二者是同态关系，是多对一，则是非忠实表示,群,G,的表示记作,D,(,G,),方阵的阶,l,称作表示的,维数,n,阶方阵实际上是,n,维线性空间上的一个线性变换；,给定表示空间的一组基矢，线性变换可以用矩阵形式描述,线性表示,和,矩阵表示,只是说法不同,群,G,的每一个元素,a,，都对应着矩阵群的一个方阵,D,(,a,),，并且：,D,(,a,),D,(,b,),= D,(,ab,),对于群,G,中的每一个元素,a,和,b,都成立,定义,群,G,的矩阵表示就是一个与群,G,同态的方矩阵群,1,矩阵表示,群论-群的表示理论-群的线性表示若矩阵群和群G是同构关系，则,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,1),D,(,e,),= E,，,E,是,ll,的,单位矩阵,；,2),D,(,a,-1,) = ,D,(,a,),-1,3),一个群的表示必然自动地,就是其子群的一个表示,。,4),任何一个群都有一个表示：,恒等表示,，这是一个,1,维的表示，所有的群元都对应于一维单位矩阵,(1),。,一个矩阵对应于一个线性空间中的线性变换,如果线性空间,选择不同的基矢,，表示,线性变换的,矩阵就会发生相应的改变,可以由,同一个矩阵表示得到无穷多个其他的矩阵表示,基本性质,群论-群的表示理论-群的线性表示1) D(e) = E ，,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,用,坐标变换矩阵,来描述,D,3,群的元素。建立如右所示,坐标系,，可以得到如下的表示矩阵。也称为对称群的,自然表示,D,3,群的表示,D,(,e,),=,D,(,a,),=,D,(,k,),=,D,(,l,),=,群论-群的表示理论-群的线性表示用坐标变换矩阵来描述D3群的,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,D,3,群,除恒等表示外,还有如下的一个,一维表示,：（非忠实表示）,D,(2),(,e,) = 1,D,(2),(,a,) = 1,D,(2),(,b,) = 1,D,(2),(,k,) = -1,D,(2),(,l,) = -1,D,(2),(,m,) = -1,D,3,群的表示,D,3,群的一个,二维表示,：,群论-群的表示理论-群的线性表示D3群除恒等表示外还有如下的,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,矩阵的,相似变换,：,M,= S,-,1,MS,等价表示：两个以,相似变换联系起来,的表示称为,等价表示,记作,D,(,G,), D,(,G,),。,相似变换实际上可认为是坐标系的变换（基矢变换）,故可认为一切,等价表示都是相同的表示,。,通过相似变换，可由,一个矩阵表示得到无穷多个等价的表示,假定,D,是由矩阵,S,决定的相似变换,D,，则,D,(,a,),D,(,b,) = (,S,-,1,D,(,a,),S,) (,S,-,1,D,(,b,),S,),=,S,-,1,D,(,a,),D,(,b,),S,= S,-,1,D,(,ab,),S,=,D,(,ab,),可见,D,也,满足同态关系,，因此它确实是群,G,的一个表示。,2,等价表示,群论-群的表示理论-群的线性表示 矩阵的相似变换： M,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,若群,G,的一个矩阵表示中，所有的矩阵都是幺正矩阵，那么这个表示就称为群,G,的一个,幺正表示,R,-1,=,R,定理,3.1,：,有限群的,任何非奇异的矩阵表示,，都可以通过相似变换变成,幺正表示,幺正矩阵构成的表示,证明：设,D,(,G,),= ,D,(,e,),D,(,g,2,),D,(,g,3,),D,(,g,N,),是有限群,G,= ,e,g,2,g,3,g,N,的一个矩阵表示，其中,N = |G|,是群,G,的阶,引入,厄米矩阵,：,H,=,厄米矩阵可以通过某一,幺正矩阵,U,对角化,3,幺正表示,群论-群的表示理论-群的线性表示 若群G的一个矩阵表示中，,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,可以证明所有的对角元素,d,k,都是正的,如果,d,k,= 0,，仅当对所有的,j,值和,G,的所有元素都有,D,kj,(,g,) = 0,这样所有矩阵的行列式都为零，与表示非奇异的假定矛盾,所以,所有的,d,k,都是正实数,。,群论-群的表示理论-群的线性表示可以证明所有的对角元素dk都,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,令,，将,H,d,写成,并代入前式，两边,同时左乘和右乘,，可得：,群论-群的表示理论-群的线性表示令 ，将Hd写成并,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,其中,这样我们得到了：,即,D,(,g,i,),是幺正矩阵。,有限群,G,的,任一表示,D,(,g,),都可以,通过矩阵,V,等价于一个幺正表示,D,(,g,),可以只讨论幺正表示,定理,3.2,：,若群,G,的两个幺正表示,D,(,G,),和,D,G,),是等价的，那么必然存在一个幺正矩阵,U,，使得,证明从略。,等价的幺正表示可以,通过幺正矩阵进行相似变换,群论-群的表示理论-群的线性表示其中这样我们得到了：即D,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,设,V,n,是群,G,的表示空间，,V,m,是,V,n,的一个子空间,对于,子空间任一矢量,x,，有,D,(,g,i,),x,V,m,，,g,i,G,，,则,V,m,称为表示,D,(,G,),的,不变子空间,不变子空间中任一矢量在表示,D,(,G,),中,任一线性变换,的作用下是封闭的,不变子空间,设,V,n,是群,G,的表示空间，,e,1,e,2,e,n,是,V,n,的一组正交归一基矢，则,表示矩阵的矩阵元,可写为,4,可约与不可约表示,群论-群的表示理论-群的线性表示设Vn是群G的表示空间，Vm,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,如果一个表示,存在不变子空间,：,设,V,n,是群,G,的表示空间，,V,m,是其不变子空间,e,1,e,2,e,m,e,m,+1,e,n,是,V,n,的一组正交归一基矢,其中,前,m,个基矢是子空间,V,m,的基矢,，,则,当,j,= 1,，,2,，,m,，,i = m,+1,，,，,n,时，,D,ij,(,g,) = 0,。,因此矩阵,D,(,g,),可以写成如下形式：,这是一个,分块矩阵,m n-m,群论-群的表示理论-群的线性表示 如果一个表示存在不变子空,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,设,D,(,G,) = ,D,(,e,),D,(,g,2,),D,(,g,N,),是群,G,的一个,n,维表示，表示空间为,V,n,，,若,V,n,中存在,D,(,G,),的不变子空间,V,m,通过适当选择空间的基矢,，可使得,D,(,G,),的,所有矩阵,都,同时写成,上述分块矩阵的形式,：,则,D,(,G,),称为,G,的,可约表示,如果其中,X,(,g,i,) = 0, ,g,i,G,，则,D,(,G,),称为,G,的,完全可约表示,可约表示,m n-m,群论-群的表示理论-群的线性表示设D(G) = D(e),群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,定理,3.3,：,可约的幺正表示,总是,完全可约,的,证明：设,D,(,G,) = ,D,(,e,),D,(,g,2,),D,(,g,N,),是群,G,的幺正表示,V,n,是它的表示空间,如果,D,(,G,),是可约的，则,V,n,中存在,D,(,G,),的不变子空间,V,m,，这样,V,n,可以分解为,V,m,和,V,l,的,直和,，记为,V,n,=,V,m,V,l,其中,V,l,= ,x|x,V,n,y,V,m,有,=,0,因为,D,(,G,),是幺正表示（,幺正变换保持内积不变,），对于,V,l,中的矢量,x,和,V,m,中的矢量,y,有,：,因为,，因此我们有：,对所有群元成立,，,也就是说,V,l,也是,D,(,G,),的,不变子空间,群论-群的表示理论-群的线性表示 定理3.3：可约的幺正表,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,V,m,和,V,l,都是,D,(,G,),的不变子空间，所以,排列基矢使得,e,1,e,2,e,m,e,m,+1,e,n,前,m,个属于,V,m,，后,n-m,个属于,V,l,则,D,(,G,),的,所有矩阵,都可写成相同的,准对角形式,完全可约,或记为,直和形式,：,D,(,g,) =,D,1,(,g,),D,2,(,g,),D,1,(,G,),和,D,2,(,G,),都是群,G,的矩阵表示。利用分块矩阵乘法可得：,D,1,(,g,i,),D,1,(,g,j,) =,D,1,(,g,i,g,j,),D,2,(,g,i,),D,2,(,g,j,) =,D,2,(,g,i,g,j,),它们,满足同态关系,，所以是,G,的表示。进一步，,如果,D,(,G,),是幺正表示，则,D,1,(,G,),和,D,2,(,G,),也是幺正表示,群论-群的表示理论-群的线性表示Vm 和Vl都是D(G)的不,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,前面的结果,D,1,(,G,),和,D,2,(,G,),还可能是可约的,对表示空间一直分解，直到,V,n,成为,最小不变子空间,的,直和,：,V,n,= V,1,V,2,V,s,最小不变子空间对应的群表示，称为群,G,的,不可约表示,不可约表示记为,D,(1),，,D,(2),，,，,D,(,s,),V,n,中的表示,D,(,G,),可以写为：,D,(,G,) =,D,(1),(,G,),D,(2),(,G,) ,D,(,s,),(,G,),不可约表示,群论-群的表示理论-群的线性表示前面的结果D1(G)和D2(,群论,-,群的表示理论,-,群的线性表示,如果以上,s,个不可约表示中有,a,1,个,等价于,D,(1),，,a,i,个等价于,D,(,i,),，因为,等价表示都是相同表示,，所以上式也可写为：,式中,a,也称作,D,(,),在,D,中的,重复度,。,D,3,群的不可约表示,D,3,群有两个一维表示：,D,(1),和,D,(2),，其中,D,(1),是恒等表示,一维表示肯定是不可约的,有一个二维的不可约表示,D,(3),共三个不等价的不可约表示,前面的例子：,D,=,D,(2),D,(3),群论-群的表示理论-群的线性表示如果以上s个不可约表示中有a,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理,3.3,舒尔引理和正交性定理,不可约表示矩阵元的性质,不等价的,不可约表示的数目,群表示理论中的重要问题,正交性定理是解决这一问题的理论基础,舒尔引理又是讨论正交性定理的数学基础,引理一,：设,D,(,),是群,G,的一个不可约表示，表示空间为,V,n,若有一个矩阵,P,与,D,(,),中的,所有矩阵,对易,，即,P D,(,),(,g,),= D,(,),(,g,),P,，,g,G,则有,P = E,，式中,E,是单位矩阵，,为常数。,1,舒尔引理,群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理3.3 舒尔引,证明：,对于表示空间,V,n,，设,P,的本征值为,，则由,V,= ,x,|,x,V,n,，,P,x,= ,x,所确定的,本征空间,（,P,的本征矢张成的空间）是,V,n,的子空间,因为：,x,V,，有,P D,(,),(,g,),x,= D,(,),(,g,),P,x,= D,(,),(,g,),x,所以,D,(,),(,g,),x,V,即：,V,是不变子空间,如果,V, V,n,，则,V,是群,G,的,真不变子空间,D,(,),(,g,),是一个可约表示，这与假设矛盾，所以,V,= V,n,。,或者说，,V,n,中的,所有矢量都是,P,的,同一本征值,的本征矢,因此必然有,P = E,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理,证明：群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理,引理二,：设,D,(1),和,D,(2),分别是,G,的,l,1,和,l,2,维,的两个,不可约表示,，若有,l,1,l,2,阶矩阵,M,满足以下关系：,D,(1),(,g,),M = MD,(2),(,g,),，,g,G,则有：当,l,1,=,l,2,时，,M,= 0,或,M ,0,但,D,(1),和,D,(2),等价,；,当,l,1,l,2,时，,M,= 0,证明：取上式的厄米共轭可得,M,D,(1) ,(,g,) =,D,(2) ,(,g,),M,，,，或写为,D,(2),(,g,-1,),M,=,M,D,(1),(,g,-1,),将,M,右乘上式两边，可得,D,(2),(,g,-1,),M,M = M,D,(1),(,g,-1,),M,=,M,M D,(2),(,g,-1,),由舒尔引理一，可得,M,M = E,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理,引理二：设D(1)和D(2)分别是G的l1和l2维的两个,l,1,=,l,2,=,n,的情况,取,M,M,的行列式，可得,|,M,M| = |M,| |,M| = |M,|*,|M,| =,n,，,若, ,0,，则,|M,|,0,，,M,有逆矩阵,M,-1,将,M,-1,右乘,D,(1),(,g,),M = MD,(2),(,g,),两端，即有,D,(1),(,g,) =,M D,(2),(,g,),M,-1,，,g,G,所以,D,(1),和,D,(2),是等价的表示,。,若, =,0,，则,M,M,的第,i,行第,i,列元素为：,即矩阵的所有第,i,列的元素为零，因,i,是任意的,所以有,M =,0,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理,l1 = l2 = n的情况群论-群的表示理论-舒尔引理和,l,1,l,2,的情况,，不妨设,l,1,l,2,构造方阵,M,：,很显然,M,M,= M,M = E,，,而,|,M,| =,0,，所以,|,M,M,|,=,n,=,0,，即, =,0,再经,与,1),中同样的讨论,，可得,M =,0,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理,l1 l2 的情况，不妨设l1 l2群论-群的表示,定理,3.4,：设,D,(,),和,D,(,),分别是,G,的,l,和,l,维的两个,不可约表示,，,有下列等式：,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理,其中,N = |G|,，是群的阶。,证明：引入矩阵,M,，,式中,X,是一个,任意的,l,l,阶矩阵。,2,表示矩阵元的正交性定理,定理3.4：设D()和D()分别是G的l和l维的两个,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理,由,舒尔引理,可得：, ,时，,M =,0,=,时，,M,=,E,群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理由舒尔引理可得：,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理, ,的情况：取,M,中的任意矩阵,X,的矩阵元为,X,pq,=,lp,mq,：,X,lm,= 1,，,其他的矩阵元均为零,此时,M =,0,，而,M,的矩阵元,M,i,j,为：,即, ,时定理是成立的。,群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理 的情况：,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理, = ,的情况：此时,M,=,E,。同样，取,X,的矩阵元为,X,pq,=,lp,mq,，可得到,M,的矩阵元为,现在计算,的值。上式中,令,i=j,，并,对,i,求和,，则得到：,由此可得, = ,ml,/l,，代入,M,ij,的表达式，即有,群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理 = 的情况：,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理,定义：若一个空间,以群,G,的,N,个元素作为基矢,，则该空间称为,群空间,，记作,V,G,群空间的基本性质（加法、数乘和内积）为：,群空间中任一矢量,x,可以表示成,N,个基矢的线性组合,，即：,x,=,g,G,x,(,g,),g,式中,x,(,g,),为复数,它是,矢量,x,在基矢,g,上的分量,，也可看作群空间上的函数。,对有限群，,x,(,g,),只有,N,个分立值，是离散函数,群空间,3,正交性定理的几何意义,群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理定义：若一个空间以群,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理,矢量的,加法和数乘,，与一般的线性空间中的矢量一样：,其中,c,是常数,基矢的内积,：,两个矢量的内积,：,群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理 矢量的加法和数乘,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理,定义群空间之后，可将,群表示的矩阵元,看做,群空间上的函数,设群,G,的一个不可约表示为,D,(,),(,G,),，它的某个元素的表示矩阵的矩阵元为,D,(,),il,(,g,),，定义群空间上的一个矢量，称为群空间的,表示矢,：,归一化的形式：,表示矢,正交性定理,可改写为以下形式：,群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理定义群空间之后，可将,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理,定义表示矢之后，群的,每一个不可约表示,D,(,),(,G,),都可得到,l,2,个表示矢,，,l,是表示的维数。,正交性定理说明：,群的所有不等价的不可约表示所得到的表示矢彼此正交,群空间是,N,维空间，所以群的所有不等价的不可约表示的,表示矢的数目不能超过,N,，即,式中,r,为群的不等价不可约表示的数目,有限群的不等价不可约表示的个数是有限的,。,以后会证明，上面的这个表达式中,只能取等号,正交性定理的数学意义,群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理定义表示矢之后，群的,群论,-,群的表示理论,-,舒尔引理和正交性定理,D,3,群：,N,= 6,，我们已知它有三个不等价不可约表示，两个一维、一个二维。,根据前面的结果,这三个不可约表示就是,D,3,群的全部不可约表示，其表示矢为：,D,3,群的表示矢,群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理D3群：N = 6，,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,3.4,表示的构造,由函数空间构造表示,如何构建群的表示？,对于对称群，可以建立一个线性空间，用,线性空间上的坐标变换,来描述,对称群的群元,（对称操作）,每个,群元,就成了这个线性空间中的,线性变换,这样实际上就得到了群的一个表示（如,D,3,群）,考虑一个坐标系的,对称变换,：在三维空间中把矢量,r,变为,r,若图形在变换前后重合，则作用在,r,上的算符（变换）就是,对称操作,例如旋转、反演等操作：,r,=,R,r,1,对称变换的方法,群论-群的表示理论-表示的构造3.4 表示的构造由函数,写成矩阵形式即为：,每个对称变换都可以用一个矩阵来描述，这样就得到了群的一个,矩阵表示,。,但是这种方法,并不能,将群的,所有不等价的不可约表示,都找到，所以还需要另外的确定群的表示的方法。,如反演、绕,z,轴的旋转：,，,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,写成矩阵形式即为：每个对称变换都可以用一个矩阵来描述，这样就,设群,G,的元素用,s,t,u,v,表示,对称变换,s,把点,r,变为,r,：,r,=,s,r,假定对点,r,作变换时，,将标量函数,f,(,r,),在点,r,处的函数值一起带到新的位置,r,，于是函数值的空间分布（,函数形式,）发生了变化，得到了一个新的函数,f,(,r,),。,f,(,r,),取决于原来的函数,f,(,r,),，还取决于对称变换,s,，即：,f,(,r,) =,P,s,f,(,r,),P,s,是作用于函数的算符,函数变换算符,下标,s,表明它是由对称变换,s,引起的,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,函数的变换,2,用函数建立群表示,设群G的元素用s,t,u,v表示群论-群的表示理论-表示的,根据这个定义，,原来的函数在原来的点,r,上的数值,，应该,等于新函数在新的点,r,上的数值,：,f,(,r,) =,f,(,r,),由于,r =,s,-1,r,，所以有,f,(,r,) =,f,(,s,-1,r,),，,即：,f,(,r,) =,f,(,s,-1,r,),，,因此我们得到：,P,s,f,(,r,) =,f,(,s,-1,r,),容易证明,函数变换算符,P,s,是幺正算符,而且,P,s,与,s,是,一一对应,的,注意，,P,s,是,作用在函数上,的！,例：“对,x,平移,a,”作用于,f,(,x,) =,x,2,上：,f,(,x,) = (,x-a,),2,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,函数变换算符,根据这个定义，原来的函数在原来的点r上的数值，应该群论-群的,若,r,= t,r,= ts,r,，那么函数变换算符使函数,f,(,r,),作相应的变换：,P,t,P,s,f,(,r,) =,P,t,f,(,s,-1,r,) =,P,t,f,(,r,),=,f,(,t,-1,r,) =,f,(,s,-1,t,-1,r,),=,f,(,ts,),-1,r,),=,P,t s,f,(,r,),关键在于，,P,t,是作用在函数,f,(,r,),上的,满足同态关系,可见,P,s,P,t,P,u,确实,构成一个群,(,算符群,),且与,s,t,u,同构,s,t,u,作用于,坐标空间,P,s,P,t,P,u,作用于,函数空间,二者有相同的表示,利用,P,s,P,t,P,u,群作用于函数上获得一个表示，从而得到,s,t,u,群的一个表示,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,若r= tr= tsr ，那么函数变换算符使函数f (,在函数空间中取一组函数,1,(,r,),，,2,(,r,),，,，,n,(,r,),作为,基矢,以,P,s,作用于某一基函数,j,(,r,),上得到一个新函数，它可展开为：,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,建立群表示,这样得到的,D,(,s,),就是,P,s,的,表示矩阵,，从而也就是,s,的表示矩阵,要证明这确实是一个表示，需要证明,D,(,s,),D,(,t,)=,D,(,st,),：,在函数空间中取一组函数1(r)，2(r)，n(r,建立一个三维函数空间，,基矢,取为：,1,(,) = cos,2,，,2,(,) = sin,2,，,3,(,) = cos,sin,对称操作对,的作用为,(,取极轴为操作,k,的对称轴,),e = ,，,a = +,120,，,b = ,-,120,，,k =,-,，,l =,240,-,，,m =,120,-,求矩阵元的公式：,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,D,3,群的例子,操作,a,的矩阵元（,a,-1, = b,）为,：,k,极轴方向,建立一个三维函数空间，基矢取为：群论-群的表示理论-表示的构,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,另外有：,其他的表示矩阵可类似得到。这些矩阵不是分块形式的，似乎应该是不可约表示，但,D,3,群的三维表示应该是可约的。,可以通过重新选取基矢,（例如,1,，,2,和,3,的某个线性组合,），,将表示矩阵准对角化,群论-群的表示理论-表示的构造另外有： 其他的表示,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,如何获得完备的基矢组？,如何保证一组函数,1,(,r,),，,2,(,r,),，,，,n,(,r,),可以作为,基矢组,？,即任意的,P,g,作用于某一函数,j,(,r,),上得到的,新函数,，,可以用这组函数展开,选取一个函数,f,(,r,),，用所有的,P,g,作用于,f,(,r,),上，得到一系列的新函数；从所有函数中选取其中,独立的部分,，构成一个“基矢组”,例如：对于,D,3,群，我们选取,f,(,r,)=,x,3,，把,P,e, P,a, P,b, P,k, P,l, P,m,作用在,x,3,上，如,在所有得到的函数中，独立的部分有：,x,3, x,2,y , xy,2, y,3,所以取：,1,(,r,)=,x,3, ,2,(,r,)=,x,2,y , ,3,(,r,)=,xy,2, ,4,(,r,)=,y,3,可以得到一个四维的函数空间，生成一个四维表示,群论-群的表示理论-表示的构造 如何获得完备的基,对基函数做变换,基矢重新组合,表示矩阵作相似变换,得到一个等价的表示,可以,约化可约表示,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,基函数的变换性质,定理,3.6,：函数,i,(,r,),成为群,G,的第,个不可约表示,D,(,),(,G,),的,基函数,的充要条件是,其中，,N,是群的阶，,l,是第,个不可约表示,D,(,),(,G,),的维数，,P,g,是函数变换算符。,意义：基函数之间的组合关系,i,(,r,),在算符的作用下,按,不可约表示矩阵,变换,和投影算符有关,3,基函数的性质,对基函数做变换基矢重新组合表示矩阵作相似变换群论-群,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,上式两边乘以,，并对所有群元求和，得,令,j = m,，,l = i,，, = ,，上式变为,这就是所求的结果，进行,指标代换,即可,证明：,1),必要条件,：若,i,(,r,),是不可约表示,D,(,),(,G,),的基函数，根据定义有：,群论-群的表示理论-表示的构造上式两边乘以 ，并对,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,2),充分条件,：将,P,s,作用于等式两边，得,（重排定理：用,s,-1,g,代替,g,）,可见,l,(,r,),确实是,D,(,),(,G,),的基函数，因它,满足基函数的展开式,群论-群的表示理论-表示的构造2) 充分条件：将Ps作用于等,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,定理,3.7,：,两个不等价不可约的幺正表示的基函数,正交；,同一不可约幺正表示的不同列,的基函数正交,其中,i,(,r,),是不可约表示,D,(,),(,G,),的第,i,列基函数；,f,是与,、,无关的常数,通常称为,基函数的正交定理,定理说明：若两个不可约表示是等价的（但它们的基函数可能不同），则它们的基函数中,属于同一列的基函数,不正交,证明：利用算符,P,s,的,幺正性,，我们可以得到,基函数的正交性与不变性,群论-群的表示理论-表示的构造 定理3.7：两个不等价不可,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,将等式两边对所有群元求和，并利用正交性定理，上式变为,等式右边,内积求和的结果,与,m,取值无关,常数,定理得证,定理,3.8,：若一组基函数,1,(,r,),，,2,(,r,),，,，,l,(,r,),满足,(,m,(,r,),，,n,(,r,) =,c,mn,其中,c,是与,m,、,n,无关的正数,则由这组基函数荷载的表示,D,(,G,),是一个,幺正表示,群论-群的表示理论-表示的构造将等式两边对所有群元求和，并利,群论,-,群的表示理论,-,表示的构造,所以,或写为,即,D,(,s,),D,(,s,) =,E ,故,D,(,s,),是幺正矩阵,D,(,G,),是幺正表示,证明：,已知,算符,P,s,是幺正的,：,(,P,s,m,，,P,s,n,) = (,m,，,n,),，,s,G,成立,群论-群的表示理论-表示的构造所以 即D(s) D(s),群论,-,群的表示理论,-,群表示的特征标,3.5,群表示的特征标,等价表示的不变量,定义,：若,D,(,G,),是群,G,的一个,l,维表示，则表示矩阵,D,(,s,),的,对角元之和,就称为群元,s,在表示,D,(,G,),中的,特征标,为什么要引进特征标？,矩阵,D,(,s,),的对角元之和也称,矩阵的迹,，记作,Tr(,D,(,s,),。,群,G,中所有群元在表示,D,(,G,),中的特征标，称为这个,表示的,特征标系,（一般也简称特征标），记为,(,G,),第,个,不可约表示的特征标,就写成,(,G,),，也称,单纯特征标,可约表示,的特征标称作,复合特征标,1,特征标的意义,群论-群的表示理论-群表示的特征标3.5 群表示的特征标,群论,-,群的表示理论,-,群表示的特征标,相似变换不改变矩阵的迹,等价表示具有相同的特征标,群中属于,同一个共轭类的元素，其特征标相同,特征标是共轭类的函数：,(,C,) =,(,s,),，,s,C,。,证明：设,s,，,t,属于同一个类，即有,s,=,u,-1,tu,，那么,(,s,) = Tr(,D,(,s,) = Tr(,D,(,u,-1,tu,),= Tr,(,D,(,u,-1,),D,(,t,),D,(,u,),= Tr,(,D,(,t,),D,(,u,),D,(,u,-1,),= Tr,(,D,(,t,) =,(,t,),假如群,G,有,c,个类,C,1,，,C,2,，,，,C,c,，则一个表示有,c,个特征标，也可记作,1,，,2,，,，,c,。,一个可约表示的特征标，等于约化后的各不可约表示的特征标之和：,a,是第,个不可约表示在其中的次数，也被称为,约化系数,特征标的基本性质,群论-群的表示理论-群表示的特征标 相似变换不改变矩阵的迹,群论,-,群的表示理论,-,群表示的特征标,设一个群的两个不等价不可约幺正表示为,D,(,G,),和,D,(,G,),，则其相应的特征标,(,g,),和,(,g,),必然满足：,或写为,其中，,N,是群的阶，,h,C,是类,C,中群元的个数,证明：利用表示,矩阵元的正交性定理,特征标的正交定理,上式中令,i = l,，,j = m,，并对,i,，,j,求和，即可得：,2,特征标的有关定理,群论-群的表示理论-群表示的特征标设一个群的两个不等价不可约,群论,-,群的表示理论,-,群表示的特征标,可约表示,D,(,G,),的,约化系数,a,的计算公式为,证明：在等式,两边同乘,(,g,)*,并对所有群元求和,计算约化系数的公式,式中,(,g,),是群元,g,在可约表示,D,(,G,),中的特征标,，,(,g,),是在第,个不可约表示,D,(,G,),中的特征标,所以：,群论-群的表示理论-群表示的特征标可约表示D(G)的约化系数,群论,-,群的表示理论,-,群表示的特征标,结论：,可约表示的,特征标,可以唯一地确定约化系数,即确定这个表示中包含有多少个第,个不可约表示,但,不能,确定这些不可约表示在可约表示中的,排列次序,(,G,),确定表示,D,(,G,),只,差一个等价关系,如果已知群的全部不等价不可约表示的特征标，,不必知道其表示矩阵,，即可根据某个表示的特征标对其,是否可约,做出判断,：,1),一个,给定表示的特征标系,与,某个不可约表示的特征标系,完全相同，那么给定的表示不可约,二者等价,2),如果给定表示的特征标系与任何一个不可约表示的特征标系都不相同，那么这个表示肯定是可约表示,利用约化系数的计算公式可以将其约化为,不可约表示的直和,群论-群的表示理论-群表示的特征标结论：可约表示的特征标可以,群论,-,群的表示理论,-,群表示的特征标,不可约表示的,直接判据,（不必计算所有的约化系数）：,一个表示是,不可约的,充要条件,是其特征标满足方程,或写为,不可约表示的判据,证明：取方程,的共轭，并,与其自身相乘,，再,对所有群元求和,，可得,群论-群的表示理论-群表示的特征标不可约表示的直接判据（不必,群论,-,群的表示理论,-,群表示的特征标,约化系数,a,是,非负整数,1),如果表示,D,(,G,),是不可约的，则,因为表示,D,(,G,),中,只包含了一个不可约表示,（例如不可约表示,D,(,G,),），所以此时只有,a,等于,1,，,其他的全为零,，此时,2),反之，如果上式成立，则要求,而约化系数,a,是非负整数，故肯定,只有,某个,a,等于,1,，其他的全为零：这是一个不可约表示,群论-群的表示理论-群表示的特征标约化系数a是非负整数2),群论,-,群的表示理论,-,群表示的特征标,例：,D,3,群的一个表示为（前面的例子）,可以得到这个表示的特征标为（三个类）：,(,e,) = 3,，,(,a,) = 0,，,(,k,) = 1,很容易算出,a,1, a,2, a,3,也可以根据特征标直接验证这个表示是否可约,群论-群的表示理论-群表示的特征标 例：D3群的一个表示为,群论,-,群的表示理论,-,群表示的特征标,设群,G,有,c,个共轭类,C,1,，,C,2,，,，,C,c,，可以在群空间中建立,c,个正交归一化的,类矢量,C,i,：,C,i,是群空间中,属于同一类,C,i,的基矢,（即群元）的,矢量和,，归一化的形式为,类空间,例：,D,3,群有三个类，其类矢量为,C,1,=,e,C,2,=,C,3,=,群论-群的表示理论-群表示的特征标设群G有c个共轭类C1，C,群论,-,群的表示理论,-,群表示的特征标,因为,若,i = j,，则,g,，,s,属于同一类，故有,若,i,j,，则,g,s,永远等于零，所以有,一个群的全部,类矢量,在群空间中形成了,c,个正交归一化的矢量,它们张成了一个,c,维的矢量空间，称之为,类空间,类空间是,群空间的一个子空间,类矢量是群空间中的,一组正交归一化的矢量,群论-群的表示理论-群表示的特征标因为若i = j，则g，s,群论,-,群的表示理论,-,群表示的特征标,是类空间中的矢量,若群,G,有,r,个不可约表示，就可以得到,r,个特征标矢量。,类似于表示矢，在类空间中可以对每一个不可约表示定义一个,特征标矢量,：,特征标矢量,D,3,群有三个不可约表示，其特征标矢量为：,群论-群的表示理论-群表示的特征标是类空间中的矢量类似于,群论,-,群的表示理论,-,群表示的特征标,两个不可约表示的特征标矢量,，,的内积可表示为,如果群,G,有,r,个不可约表示，那么,r,个特征标矢量,相互正交,它们张成了一个,r,维的空间,它是,类空间的子空间,类空间是,c,维的，所以,r,c,群的,不可约表示的个数,不大于群的,共轭类的个数,实际上，我们后面会证明，只有等号成立。,群论-群的表示理论-群表示的特征标两个不可约表示的特征标矢量,群论,-,群的表示理论,-,投影算符,3.6,投影算符,重组基矢的工具,定义,：,投影算符 是由下式定义的算符,投影算符的作用：,以 作用于第,个不可约表示的基函数上，可以得到：,定理,3.6,只有当,=,，,j=k,时，结果不为零,投影算符 作用于,第,个不可约表示的第,j,列基函数上,，将得到,同一个不可约表示的第,i,列基函数,。,1,投影算符的定义,群论-群的表示理论-投影算符3.6 投影算符重组基矢的工,群论,-,群的表示理论,-,投影算符,定义第,个不可约表示,各列基函数之和,为第,个不可约表示的,基底,，即,以 作用在基底,上，可得,可见 可以从第,个不可约表示的基底,中,选出这个表示的第,i,列基函数,i,(,r,),投影算符的选择作用,群论-群的表示理论-投影算符 定义第个不可约表示各列基函,群论,-,群的表示理论,-,投影算符,以 作用在其上，可得,即 可以从某个（,包含有第,个不可约表示的基底,的）,任意函数,中，将这个不可约表示的第,i,列基函数挑选出来。,可以,利用投影算符,从任意函数中,求得所需要的基函数,假定一任意函数,(,r,),， 能被展开为,各不可约表示的基底之和,群论-群的表示理论-投影算符以 作用在其上，可得,群论,-,群的表示理论,-,投影算符,准投影算符,P,i,为满足下式的算符,以准投影算符,P,i,作用于,j,(,r,),上，我们可以得到,特征标投影算符,P,为满足下式的算符,以,P,作用于,j,(,r,),上，可得：,2,特征标投影算符,群论-群的表示理论-投影算符 准投影算符 Pi 为满足下,群论,-,群的表示理论,-,投影算符,即,P,作用于第,个不可约表示第,j,列基函数上,仍得到这个基函数,如果是一个任意函数,(,r,),，以,P,作用于其上，则有,所以，将,特征标投影算符,P,作用于（含有某个不可约表示的基底的）,任意函数,上，,可将这个不可约表示的基底,求出,群论-群的表示理论-投影算符 即P作用于第个不可约表,群论,-,群的表示理论,-,投影算符,基底,是基函数的线性组合,可作为第,个不可约表示基函数,我们可以这样确定第,个不可约表示,D,(,G,),的所有基函数：,选择,为第一列基函数,1,(,r,),；,以群,G,的,每个群元,对应的算符,P,g,作用于其上,，得到,N,个函数,P,g,1,(,r,),（,g,G,）,，,这些函数都是,D,(,G,),的基函数的线性组合；,从这,N,个函数中,选出,l,个线性无关的函数,(,其中一个就是,1,(,r,),再应用,Schmidt,正交化过程,将这,l,个函数正交化,即可得