2412垂径定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,24.1.2 垂径定理,制作：雅桥九年一贯制学校 田宏波,1,、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？,圆是,轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴,.,2,、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？,圆,是中心对称图形，圆心是对称中心,一、温故知新,3,、填空：,（,1,）根据圆的定义，,“,圆,”,指的是,“,”,，是,线，而不是,“,圆面,”,。,（,2,）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的,，半径决定圆的,，二者缺一不可。,（,3,）,同一个圆的半径,相等。,圆周,位置,大小,曲,处处,4.,过圆上一固定点可以作圆的最长弦有,(),条,.,A.1 B.2 C.3 D.,无数条,5.,一点和,O,上的最近点距离为,4cm,最远距离为,10cm,则这个圆的半径是,_cm.,A,7,或,3,.,O,A,C,.,B,3.,图中有,_,条直径,_,条非直径的弦,圆中以,A,为一个端点的优弧有,_,条,劣弧有,_,条,.,4.,如图,O,中,点,A,、,O,、,D,以及点,B,、,O,、,C,分别在一直线上，图中弦的条数为,_,。,第,5,题,1,2,4,4,2,24,5.CD,为,O,的直径,EOD=72,AE,交,O,于,B,且,AB=OC,则,A=_.,问题：你知道赵州桥吗,?,它是,1300,多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4,m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2,m,，,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少,？,问题情境,1.,理解圆的对称性；,2.,理解掌握圆的垂径定理，能灵活运用。,重点：,理解掌握垂径定理,难点：,灵活运用垂径定理解决有关圆问题,二、明确目标,知识目标:,培养探索、推理、归纳、证明的能 力及用数学语言表达数学问题的能力,.,能力目标:,培养独立思考、敢于质疑、善于表达的习惯；学会互助、合作、交流,.,感情目标:,阅读课本,P80-82,，完成以下问题：,1.,圆的垂径定理是什么？,2.,垂径定理的推论是什么？你能用一句话概括这些推论吗？,三、自学、合作与交流,合作探究,四、能力展示,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,（,1,）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,（,2,）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,活 动 一,（,1,）是轴对称图形直径,CD,所在的直线是它的对称轴,（,2,）线段：,AE=BE,弧：，,把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧的两个半圆重合，,点,A,与点,B,重合，,AE,与,BE,重合，,和,重合，,和,重合,直径平分弦，并且,平分及,O,A,B,C,D,E,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,思考：,平分弦（不是直径）的直径有什么性质？,即,，,如图,:,AB是O的一条弦,，直径,CD,交,AB,于,M,，,AM=BM,垂径定理的,推论,O,A,B,C,D,M,连接,OA,OB,则,OA=OB.,在,OAM,和,OBM,中,OA=OB,，,OM=,OM,，,AM=BM,OAMOBM.,AMO=,BMO.,CDAB,O,关于直径,CD,对称,当圆沿着直径,CD,对折时,点,A,与点,B,重合,AC,和,BC,重合,AD,和,BD,重合,.,AC=BC,AD=BD.,平分,弦（不是直径）的直径,垂直,于弦,并且,平分,弦所对的两条,弧,.,AM=BM,由 ,CD,是,直径,CDAB,可推得,AD=BD.,AC=BC,CDAB,由 ,CD,是,直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.,可推得,M,几何语言表达,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,推论：,平分,弦（不是直径）的直径,垂直,于弦,并且,平分,弦所对的两条,弧,.,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（,1,）过圆心 （,2,）垂直于弦 （,3,）平分弦,（,4,）平分弦所对的优弧 （,5,）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,结论,五、高效训练,你学会了吗？,一、判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，,必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对,的两条弧分别三等分,O,A,B,C,D,M,3,半径为,2cm,的圆中，过半径中点且,垂直于这条半径的弦长是,。,8cm,A,B,O,E,A,B,O,E,O,A,B,E,1,半径为,4cm,的,O,中，弦,AB=4cm,那么圆心,O,到弦,AB,的距离是,。,2,O,的直径为,10cm,，圆心,O,到弦,AB,的 距离为,3cm,，则弦,AB,的长是,。,二、填空：,O,A,B,C,D,1.,两条弦在圆心的同侧,O,A,B,C,D,2.,两条弦在圆心的两侧,4,、,O,的半径为,10cm,，弦,ABCD,，,AB=16,，,CD=12,，则,AB,、,CD,间的,距离是,_,.,2cm,或,14cm,1,如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8,cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3,cm,，求,O,的半径,O,A,B,E,在来！你行吗？,解：,答：,O,的半径为,5,cm.,在,Rt,AOE,中,2,：已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点。,求证：,AC,BD,。,证明：过,O,作,OEAB,，垂足为,E,，,则,AE,BE,，,CE,DE,。,AE,CE,BE,DE,。,所以，,AC,BD,E,.,A,C,D,B,O,实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段,.,就可以利用垂径定理来解决有关问题了,.,3,、已知：,O,中弦,ABCD,。,求证：,AC,BD,证明：作直径,MNAB,。,ABCD,，,MNCD,。,则,AM,BM,，,CM,DM,（,垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）,AM,CM,BM,DM,AC,BD,.,M,C,D,A,B,O,N,你能讲解吗？,夹在两条平行弦间的弧相等,.,你能有一句话概括一下吗？,小结,:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,.,C,D,A,B,O,M,N,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,解得：,R,27,9,（,m,）,B,O,D,A,C,R,解决求赵州桥拱半径的问题,在,Rt,OAD,中，由勾股定理，得,即,R,2,=18.7,2,+,（,R,7.2,）,2,赵州桥的主桥拱半径约为,27.9,m.,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,AB,=37.4,，,CD,=7.2,，,OD=OC,CD,=,R,7.2,解：因为,如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为,O,，半径为,R,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与,AB,相交于点,D,，根据前面的结论，,D,是,AB,的中点，,C,是 的中点，,CD,就是拱高,实践应用,7.2,18.7,体会.分享,说出你这节课的收获和体验，,让大家与你一起分享！,圆是,轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,.,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,.,垂径,定理,:,在,解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为,解直角三角形,的问题。,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（,1,）过圆心 （,2,）垂直于弦 （,3,）平分弦,（,4,）平分弦所对的优弧 （,5,）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,六、知识盘点,别忘记还有我哟！,1,、,P82,练习,1,、,2,题,2,、教材,88,页习题,24.1,8,、,9,；,3,、练习册同步,作业：,2,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形,.,挖掘潜力,某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、,2 m,，过,O,作,OC,AB,于,D,，交圆弧于,C,，,CD=2,、,4m,，现有一艘宽,3m,，船舱顶部为方形并高出水面（,AB,）,2m,的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？,C,N,M,A,E,H,F,B,D,O,结束寄语,不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也,.,下课了,!,再见,学生练习,已知：,AB,是,O,直径，,CD,是弦，,AECD,，,BFCD,求证：,EC,DF,.,A,O,B,E,C,D,F,A,B,O,E,D,油的最大深度,ED=OD,OE=200(mm),或者油的最大深度,ED=OD+OE=450(mm).,(1),在直径为,650mm,的圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽,AB=600mm,求油的最大深度。,OE=125(mm),(2),B,A,O,E,D,解：,例,1,如图，已知在,O,中，弦,AB,的长为,8,厘米，圆心,O,到,AB,的距离为,3,厘米，求,O,的半径,.,解：连结,OA,。过,O,作,OEAB,，,垂足为,E,，则,OE,3,厘米，,AE,BE,。,AB,8,厘米,AE,4,厘米,在,RtAOE,中，根据勾股定理有,OA,5,厘米,O,的半径为,5,厘米。,.,A,E,B,O,讲解,判断,（,1,）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧,.(),（,2,）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心,.(),（,3,）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分,.(),（,4,）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,(),（,5,）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）,实践探究,把,一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,活动一,