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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,随机事件及其概率,一、基本内容,1.随机试验,（1）试验在相同的条件下可重复进行；,（2）试验前知道试验的所有可能结果，,并且可能的结果不止一个；,（3）试验前不知道那一个结果会出现。,具有下列特点的试验称为,随机试验,(,试验,):,2.样本空间与样本点,样本空间,随机试验的所有可能的结果所组成的集合，,记作,；,样本点,样本空间,中的每个元素，,记作,。,即试验的每一可能的结果，,(一)随机试验与样本空间,2,(二)事件及事件之间的关系与运算,1.随机事件、必然事件、不可能事件,2.事件间的关系与运算,(1)包含与相等,(2)和事件:,“,n,个事件 中至少有一个发生”,“,二事件,A,与,B,至少有一事件发生”,(3)积事件:,或,n,个事件的积,或,“,二事件,A,与,B,都发生”,(4)互不相容(互斥)事件:,事件,A,与,B,不能同时发生,若,n,个事件 中任意两个事件不可能同时发生，即,通常把,n,个互不相容事件 的和记作,3,(6)逆事件,或,(7)完备事件组,互不相容的完备事件组：,且,若 满足,(1).,(2).,(3).,3.事件运算的性质,4,(三)概率的定义,概率的定义,事件,A,发生的可能性大小,概率的古典定义：,几何概率的定义:,概率的统计定义,概率的公理化定义,(四)概率的有关定理及公式,1.加法定理,若事件 构成互不相容的完备事件组，则,5,2.条件概率及乘法定理,条件概率,乘法定理,3.全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式,其中,贝叶斯公式,6,(五)事件的独立性与独立试验序列,事件的独立性,事件,A,与事件,B,相互独立,若,n,个事件,A,1,A,2,A,n,是相互独立的，则,如果在独立试验序列中事件,A,的概率为,p,(0,p,1)，,次试验中事件,A,恰好发生,m,次的概率,其中 。,则在,n,7,1.5 把10本书任意地放在书架上,求其中指定的3本放在一起的,概率。,解,设,A=,“,指定的3本放在一起”，,基本事件的总数：,则,A,所包含的基本事件的数：,二、例题选讲,1.6 为减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛，求最强的两队分在不同组内的概率。,解,设事件,A,表示最强的两队分在不同组内，,基本事件的总数：,8,则,A,所包含的基本事件的数：,另解：,1.7 解:,北家的 13 张牌中可以是 52 张牌中的任意13 张，,则,基本事件总数为：,用,A,表示中所述事件，,基本事件数为：,用,B,表示中所述事件，,基本事件数为：,9,（1）,1.8 3个球随机的投入4个盒子中，求下列事件的概率：,（1）,A,是任意3个盒子中各有1个球；,（2）,B,是任意1个盒子中有3个球；,（3）,C,是任意1个盒子中有2个球，其它任意1个盒子中有1个球。,解,：,（2）,（3）,10,乙,1.,9,解:,样本空间样本点的个数为：,A,含样本点的个数为：,B,含样本点的个数为：,C,含样本点的个数为：,甲,丙,丁,1,1,2,2,2,2,1,1,D,含样本点的个数为：,E,含样本点的个数为：,11,1.13 某工厂生产的100个产品中，有5个次品，从这批产品中任,取一半来检查，设,A,表示发现次品不多于1个，求,A,的概率。,解：,设,“有,i,件次品”，,则,1.1,5,解:,52 张牌中，定约人及同伴有 9 张黑桃，,其余 4 张黑桃,在防守方，,则基本事件总数为：,（1）,设,A,表示防守方黑桃“22”分配，,A,中基本事件数为：,12,（2）,B,中基本事件数为：,设,B,表示防守方黑桃“13”或“31”分配，,则,（3）,C,中基本事件数为：,设,C,表示防守方黑桃“,04”,或“,40”,分配，,则,13,（1）,1.16 20件产品中，一等品9件，二等品7件，三等品4件，从中任,取3件，求下列事件的概率：,（1）,A,是任取的3件产品中恰有2件等级相同的产品；,（2）,B,是任取的3件产品至少有2件等级相同的产品。,解,：,（2）,或,14,1.19.1100个共100个数中任取一个数，求这个数能被2或3,或5整除的概率。,解:,“被2整除,”,设,A,=,B,=“,被3整除,”,C,=“,被5整除,”,所以所求事件的概率为,15,1.,20,解:,北家的 13 张牌可以是 52 张牌的任何13 张，,则基本事件总数为：,（1）设,A,表示事件“至少缺一种花色”，,表示事件“缺红桃”，,表示事件“缺方块”，,表示事件“缺黑桃”，,表示事件“缺草花”，,A=,(,),=,-0,=,（2）,表示事件“四种花色都有”，,则,16,解:,设,A,i,表示“第,i,次取得白球”，,i,=1，2；,B,i,表示“第,i,次取得黑球”，,i,=1，2。,设,C,表示“第二次取出的球与第一次相同”，,则,1.21 袋中有,a,个白球和,b,个黑球，每次从袋中任取一个，取后,不放回，求第二次取出的球与第一次取出的的球颜色相同,的概率。,17,1.2,2,袋中有,3,个白球与,7,个黑球,甲乙二人轮流从袋中取球,第一次,甲取,第二次乙取,.,每次取,1,个球,取出的黑球不再放回,直,到取出,1,个白球为止,求各人先取出白球的概率,.,解,A,表示甲先取到白球,A,i,表示甲第,i,次取到白球,(,i,=1,3,5,7)，,B,表示乙先取到白球,B,j,表示乙第,j,次取到白球,(,j,=2,4,6,8)，,则,18,19,则,1.23 猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6，如,果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而,使距离变为150米，如果第二次又未击中，这时距离变为,200米，假设击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物,的概率。,解,:,因击中的概率与距离成反比,设第 次击中的概率为 距离为,A,表示击中，,A,i,表示第,i,次击中,(,i,=1,2,3)，,则,20,21,1.25 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，,第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比,第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：,任意取出的零件是合格品(,A,),的概率。,解:,“取出的零件由第,i,台加工”,设,B,i,=,22,1.26 袋中有12个乒乓球，其中9个新的。第一次比赛从中任取3,个，比赛后仍放回袋中，第二次比赛再从袋中任取3个，求,第二次取出的球都是新球的概率。,解:,“,第一次取出的3个球中有,i,个,新球,”,设,B,i,=,则,设,A,表示事件“第二次取到的都是新球”,23,1.27 试卷中有一道选择题，共有4个答案，其中只有一个正确，,考生若会这道题，则一定能选出正确答案，若不会这道题，,则任选一个答案。设考生会解这道题的概率为0.8，求,考生选出正确答案的概率；,解:,24,，则,A,与,B,是独立的。,1.30.,证明:若,证,:,A,与,B,是独立的。,另证,:,A,与,B,是独立的。,25,1.31 一工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的,概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7。求在一,小时内最多有一台需要工人照管的概率。,解:,“第,i,台机床需要工人照管”,设,A,i,=,“在一小时内最多有一台需要工人照管”,A,=,则,是独立的，,26,1.32,电路由电池,a,与两个并联的电池,b,及,c,串联而成,求电路发生间断的概率,.,设电池,a,b,c,损坏的概率分别为,0.3,0.2,0.2,解,:,设,A,B,C,分别表示电池,a,b,c,损坏,D,表示电路间断,则,27,1.33,“第,i,个元件正常工作”,“系统1正常工作”,1,2,3,4,5,6,“系统2正常工作”,1,2,3,4,5,6,28,1.34 甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为,0.4、0.5、0.7，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2，如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6。如果三,人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。,解:,29,解:,设,A,i,表示“甲第,i,次击中目标”，,B,i,表示“乙第,i,次击中目标”，,设,C,表示“甲先击中目标”，,则,表示“乙先击中目标”。,1.35 甲乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，第二次乙,射击，设每次射击甲击中目标的概率为,p,1,，,乙击中目,标的概率为,p,2,，,求各人先击中目标的概率。,30,1.36 灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在,使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。,解:,所求概率为,31,1.37 甲乙两篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.6，每人投3次，,求甲乙进球数相等的概率,；,甲比乙进球多的概率,。,解:,设事件,A,i,表示甲在3次投篮中投进,i,个球，,又设事件,B,i,表示乙在3次投篮中投进,i,个球，,32,1.38 一次射击最多击中10环。某运动员在一次射击中得10环的概率,为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在,五次独立射击中不少于48环的概率。,解:,设事件,A,表示在五次独立射击中不少于48环，,则,A,1,=“5,次均击中10环”,A,2,=“,有4次击中10环，1次击中8环”,A,3,=“,有4次击中10环，1次击中9环”,互不相容，,显然,A,4,=“,有3次击中10环，2次击中9环”,33,1.,40,解:,设,A,表示事件“一批产品被认为是合格的”,1.3,9,解:,发现一盒火柴用完前已取,2,n,-,r,次火柴，,每次取火柴，,每盒火柴被取到的概率为,设所求事件为,C,，,则,
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