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,第二十三讲圆的有关计算,一、正多边形和圆,1.,定义,:,各边,_,各角也都,_,的多边形是正多边形,.,2.,正多边形和圆的关系,:,把一个圆,_,依次连接,_,可作出圆,的内接正,n,边形,.,相等,相等,n,等分,各分点,二、圆中的弧长与扇形面积,1.,半径为,R,的圆中,n,的圆心角所对的弧长,l,的计算公式为,l,=_.,2.,扇形面积,:,(1),半径为,R,的圆中,圆心角为,n,的扇形面积为,S,扇形,=_.,(2),半径为,R,弧长为,l,的扇形面积为,S,扇形,=_.,【自我诊断,】,1.,一个扇形的圆心角为,60,它所对的弧长为,2 cm,则这个扇形的半径,为,(,),A.6 cmB.12 cm,C.2 cmD.cm,A,2.,圆锥的侧面积为,6 cm,2,底面圆的半径为,2 cm,则这个圆锥的母线长为,_,cm.,3.,已知扇形的半径为,3 cm,圆心角为,120,则此扇形的弧长是,_cm,扇形,的面积是,_ cm,2,(,结果保留,).,3,2,3,考点一 正多边形和圆的有关计算,【示范题,1,】,(2019,河池中考,),如图,在正六边形,ABCDEF,中,AC=2 ,则它的边,长是,(,),A.1B.,C.D.2,高频考点,疑难突破,D,【答题关键指导,】,正多边形的有关计算的常用公式,1.,有关角的计算,:,(1),正,n,边形的内角和,=(n-2)180,外角和,=360.,(2),正,n,边形的每个内角,=,每个外角,=.,(3),正,n,边形的中心角,=.,2.,有关边的计算,:,(1)r,2,+=R,2,(r,表示边心距,R,表示半径,a,表示边长,).,(2),l,=na(,l,表示周长,n,表示边数,a,表示边长,).,(3)S,正,n,边形,=,l,r(,l,表示周长,r,表示边心距,).,【跟踪训练,】,1.(2019,滨州中考,),若正六边形的内切圆半径为,2,则其外接圆半径为,_.,2.(2020,绥化中考,),如图,正五边形,ABCDE,内接于,O,点,P,为 上一点,(,点,P,与点,D,点,E,不重合,),连接,PC,、,PD,DGPC,垂足为,G,PDG,等于,_,度,.,54,考点二 弧长和扇形面积的有关计算,【示范题,2,】,(2020,北部湾中考,),如图,在边长为,2,的菱形,ABCD,中,C=60,点,E,F,分别是,AB,AD,上的动点,且,AE=DF,DE,与,BF,交于点,P.,当点,E,从点,A,运动到点,B,时,则点,P,的运动路径长为,_.,【答题关键指导,】,1.,在解决弧长和扇形的相关计算问题时,首先找出扇形的圆心角与半径,.,2.,熟练掌握弧长公式及扇形面积公式是解决问题的关键,.,【跟踪训练,】,1.(2019,梧州中考,),如图,已知半径为,1,的,O,上有三点,A,B,C,OC,与,AB,交于点,D,ADO=85,CAB=20,则阴影部分的扇形,OAC,面积是,_.,2.(2020,哈尔滨中考,),一个扇形的面积是,13 cm,2,半径是,6 cm,则此扇形的圆,心角是,_,度,.,3.(2020,金华中考,),如图,的半径,OA=2,OCAB,于点,C,AOC=60.,(1),求弦,AB,的长,.,(2),求 的长,.,130,【解析,】,(1),的半径,OA=2,OCAB,于点,C,AOC=60,AC=OA,sin,60,=2,AB=2AC=,(2)OCAB,AOC=60,AOB=120,OA=2,的长是,:,考点三 与圆有关的阴影面积的计算,【示范题,3,】,(2020,玉林中考,),如图,在边长为,3,的正六边形,ABCDEF,中,将四边形,ADEF,绕顶点,A,顺时针旋转到四边形,ADEF,处,此时边,AD,与对角线,AC,重叠,则图中阴影部分的面积是,_.,3,【答题关键指导,】,求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂问题简单化,便于求解,.,这种解题方法也体现了整体思想、转化思想,.,将不规则图形面积转化为规则图形的面积,常用的方法有,:,直接用公式法,;,和差法,;,割补法,.,【跟踪训练,】,1.(2020,遂宁中考,),如图,在,RtABC,中,C=90,AC=BC,点,O,在,AB,上,经过点,A,的,O,与,BC,相切于点,D,交,AB,于点,E,若,CD=,则图中阴影部分面积为,(,),A.4-B.2-,C.2-D.1-,B,2.(2020,凉山州中考,),如图,点,C,、,D,分别是半圆,AOB,上的三等分点,若阴影部分,的面积是,则半圆的半径,OA,的长为,_.,3,3.(2020,潍坊中考,),如图,AB,为,O,的直径,射线,AD,交,O,于点,F,点,C,为劣弧,的中点,过点,C,作,CEAD,垂足为,E,连接,AC.,(1),求证,:CE,是,O,的切线,;,(2),若,BAC=30,AB=4,求阴影部分的面积,.,【解析,】,(1),连接,BF,AB,是,O,的直径,AFB=90,即,BFAD,CEAD,BFCE,连接,OC,点,C,为劣弧 的中点,OCBF,BFCE,OCCE,OC,是,O,的半径,CE,是,O,的切线,;,(2),连接,OF,OA=OC,BAC=30,BOC=60,点,C,为劣弧 的中点,FOC=BOC=60,AB=4,FO=OC=OB=2,FOC,与,AFC,同底等高,S,扇形,FOC,=,即阴影部分的面积为,:.,4.(2019,淄博中考,),如图,在,RtABC,中,B=90,BAC,的平分线,AD,交,BC,于点,D,点,E,在,AC,上,以,AE,为直径的,O,经过点,D.,(1),求证,:BC,是,O,的切线,;CD,2,=CE,CA;,(2),若点,F,是劣弧,AD,的中点,且,CE=3,试求阴影部分的面积,.,【解析,】,(1),连接,OD,AD,是,BAC,的平分线,DAB=DAO,OD=OA,DAO=ODA,DAB=ADO,DOAB,而,B=90,ODB=90,BC,是,O,的切线,;,连接,DE,BC,是,O,的切线,CDE=DAC,又,C=C,CDECAD,CD,2,=CE,CA;,(2),连接,DF,OF,设圆的半径为,R,点,F,是劣弧,AD,的中点,OF,是,DA,的中垂线,DF=AF,FDA=FAD,DOAB,ODA=DAF,ADO=DAO=FDA=FAD,AF=DF=OA=OD,OFD,OFA,是等边三角形,C=30,OD=OC=(OE+EC),而,OE=OD,CE=OE=R=3,S,阴影,=S,扇形,DFO,=,考点四 圆锥的有关计算,【示范题,4,】,(2019,贵港中考,),如图,在扇形,OAB,中,半径,OA,与,OB,的夹角为,120,点,A,与点,B,的距离为,2 ,若扇形,OAB,恰好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的,底面半径为,_.,【答题关键指导,】,圆锥的立体图形与平面图形的联系,1.,圆锥的侧面展开图是扇形,它的弧长为圆锥的底面圆的周长,扇形的半径为圆锥的母线长,圆锥的侧面积,=,扇形的面积,=,圆锥底面圆的周长与母线长乘积的一半,.,2.,圆锥的高、底面半径和母线可以构成一个直角三角形,从而应用勾股定理帮助计算,.,3.,圆锥的全面积,=,圆锥的侧面积,+,底面积,.,【跟踪训练,】,1.(2020,聊城中考,),如图,有一块半径为,1 m,圆心角为,90,的扇形铁皮,要把它,做成一个圆锥形容器,(,接缝忽略不计,),那么这个圆锥形容器的高为,(,),C,2.(2020,新疆建设兵团中考,),如图,O,的半径是,2,扇形,BAC,的圆心角为,60.,若,将扇形,BAC,剪下围成一个圆锥,则此圆锥的底面圆的半径为,_.,3.(2020,绥化中考,),已知圆锥的底面圆的半径是,2.5,母线长是,9,其侧面展开图,的圆心角是,_,度,.,100,
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