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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,.4,非齐次问题,(,I),非齐次振动方程定解问题,特征函数法,令,其中,(1),(2),令,为待定函数,.,并将 按特征函数系展为级数,其中,(3),(4),(1),将,(3),(4),代入方程得,两端比较,将,(3),代入初始条件,Laplace,变换,所以,例1.求解具有热源 ，两端绝热，初始温度为零的杆的热传导问题。,本征函数为,设,解,：,代入方程得,比较系数得：,由初始条件得：,从而,所以,例在环形区域 内求解下列定解问题,解考虑极坐标变换,:,定解问题可以转化为,:,相应的齐次问题的特征函数系为,:,于是可以设原问题的解为,:,代入方程，整理得,比较两端 和 的系数可得,由边界条件，得,所以,由边界条件，可知,满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为,下面求,.,方程的通解为,由端点的条件，得,原问题的解为：,2.5,非齐次边界条件的处理,处理非齐次边界条件问题的,基本原则,是,:,选取一个辅助函数,通过函数之间的代换,:,使得对新的未知函数,边界条件为齐次的,.,例1振动问题,（,I）,解,：,取,故,要求满足,(I),的边界条件，即,解得,思路,:,作代换,选取,w,(,x,t,),使,v,(,x,t,),的边界条件化为齐次,代入(,I)，,得 的定解问题(,II),令,如果仍取 的线性函数作为 ，则有,此时除非 ，否则这两式互相矛盾。,当,x,0,和,x,=,l,满足第二类边界条件,注意：,应取,例 定解问题,其中,A,B,为常数,.,解,:,令,代入方程，得,选 满足,它的解为,于是 满足的方程为：,利用分离变量法，求解得,其中,从而，原定解问题的解为,一,.,选择适当的坐标系,.,原则,:,边界条件的表达式最简单,.,二,.,若边界条件是非齐次的,引进辅助函数把边界条件化为齐次的。,三,.,对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个,其 一是方程齐次,并具有原定解条件的定解问题,(,分离变量法,),；其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题,(,特征函数法,).,一般的定解问题的解法,例 求下列定解问题的解,其中 为常数。,解,1,）边界条件齐次化，令,于是 满足如下定解问题,2,）将问题分解为两个定解问题。设,3,）求解问题,(I),(II),。,首先，利用分离变量法求解问题,(I),。,特征值及相应的特征函数,则,利用初始条件确定系数,计算可得,其次，利用特征函数法求解问题,(II),将 按问题（,I,）的特征函数系进行傅立叶展开,代入问题（,II,）的方程及初始条件，得,问题转化为求解下列常微分方程的初值问题,解得,所以，,4,）综合上述结果,得到原问题的解,对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言,应根据求解区域的形状适当的选取坐标系,使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单,便于求解,.,例如,对于圆域、圆环可以采用极坐标。应当指出,只有当求解区域非常规范时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题，或利用特征函数法求解泊松方程的定解问题,.,注：圆域内的周期性条件及有界性条件在题目中是不给出的，这些条件需根据对题目的分析自己写出,.,
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