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课前自主学习,课堂讲练互动,课后智能提升,章 末 归 纳 整 合,知识网络,1,正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的；其属性是确定的,2,在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的,“,确定性,”,，在表示一个集合时，要特别注意它的,“,互异性,”,、,“,无序性,”,3,在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质,要点归纳,4,对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围用集合表示不等式,(,组,),的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或,Venn,图的直观性帮助判断空集是任何集合的子集，但因为不好用,Venn,图表示，容易被忽视如在关系式,B,A,中，易漏掉,B,的情况,5,若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之,6,若集合中含有参数，必须对参数进行分类讨论，讨论时既不能重复又不能遗漏,7,函数与映射的联系与差异：映射的原象集和象集可以是数集也可以是其他集合，函数的定义域和值域是非空的数集映射是函数的推广，函数是映射的特例,8,相同函数的判定方法：,(1),定义域相同；,(2),对应法则相同,(,两者必须同时具备,),但是由于值域是由定义域和对应法则完全确定的，因此，当定义域、对应法则、值域三者中有一个不相同时，就可以判定不是同一个函数,9,函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域常涉及到的依据为：,(1),分母不为,0,；,(2),偶次根式中被开方数不小于,0,；,(3),对数的真数大于,0,，底数大于,0,且不等于,1,；,(4),零指数幂的底数不等于,0,；,(5),实际问题要考虑实际意义等,10,函数值域的求法：,(1),观察法；,(2),配方法,(,二次或四次,),；,(3),判别式法；,(4),换元法；,(5),函数的单调性法,11,函数的解析式的求法：,(1),定义法；,(2),换元法；,(3),待定系数法；,(4),配凑法；,(5),消去法；,(6),特殊值法,12,单调性的判定方法：,(1),设,x,1,，,x,2,是所研究区间内任意两个自变量，且,x,1,x,2,；,(2),用作差比较法或作商比较法判定,f,(,x,1,),和,f,(,x,2,),的大小；,(3),确定所研究区间内函数的单调性,13,奇偶性的判定方法：,(1),首先看定义域是否关于原点对称；,(2),判断,f,(,x,),与,f,(,x,),的相等或不等,14,图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象平移、翻转、伸缩变换；利用函数的奇偶性与对称性描绘函数图象,一、集合中元素的特性,集合中元素的特性是集合的重要属性，在解决集合问题时具有非常重要的作用，尤其是互异性，在解题中常被忽略从而导致解题出错,【,例,1】,已知集合,A,a,2,，,(,a,1),2,，,a,2,3,a,3,，若,1,A,，求实数,a,的值,解,：若,a,2,1,，则,a,1,，,所以,A,1,0,1,，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；,要点整合,若,(,a,1),2,1,，则,a,0,或,a,2.,当,a,0,时，,A,2,1,3,，满足题意，,当,a,2,时，,A,0,1,1,，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；,若,a,2,3,a,3,1,，则,a,1(,舍去,),或,a,2(,舍去,),综上所述，,a,0.,二、集合的关系及运算,集合的运算有交,(),、并,(,),、补,(,U,A,),这三种常见的运算，它是本章核心内容之一在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法,(,或,Venn,图,),是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一在具体应用时要注意端点值是否适合题意，以免增解或漏解,【,例,2】,设全集,U,R,，集合,A,x,|,1,x,4,，,B,y,|,y,x,1,，,x,A,，求,U,B,，,A,B,，,A,(,U,B,),解,：,1,x,4,，,0,x,15,，,即,B,y,|0,y,2,，求实数,a,的取值范围,因为,1,x,1,x,2,，,所以,x,1,x,2,1,，,x,1,x,2,10,，,所以,f,(,x,1,),f,(,x,2,)0,，,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,所以,f,(,x,),在,(1,，,),上是增函数,由于,x,1,x,2,0,0,x,1,x,2,0,，,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),所以,f,(,x,),在,(0,1),上是减函数,由,f,(,x,),在,(1,，,),上是增函数，,在,(0,1),上是减函数，且,f,(1),2,知，,当,a,(0,1),时，,f,(,a,)2,f,(1),成立；,当,a,(1,，,),时，,f,(,a,)2,f,(1),成立；,而当,a,0,时，,f,(,a,)0,，不满足题设,综上可知，实数,a,的取值范围为,(0,1),(1,，,),四、函数图象及应用,函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等反之，掌握好函数的性质，有助于图象的正确画出,【,例,4】,设函数,f,(,x,),x,2,2|,x,|,1(,3,x,3),(1),证明：,f,(,x,),是偶函数；,(2),指出函数,f,(,x,),的单调区间，并说明在各个单调区间上,f,(,x,),是增函数还是减函数；,(3),求函数的值域,(1),证明：,f,(,x,),(,x,),2,2|,x,|,1,x,2,2|,x,|,1,f,(,x,),，,即,f,(,x,),f,(,x,),，且定义域,3,3,关于原点对称，,f,(,x,),是偶函数,(2),解：当,0,x,3,时，,f,(,x,),x,2,2,x,1,(,x,1),2,2,；,当,3,x,0,时，,f,(,x,),x,2,2,x,1,(,x,1),2,2.,根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图所示,函数,f,(,x,),的单调区间为,3,，,1,，,(,1,0,，,(0,1,，,(1,3,f,(,x,),在区间,3,，,1,，,(0,1,上为减函数，在,(,1,0,，,(1,3,上为增函数,(3),解,：当,0,x,3,时，函数,f,(,x,),(,x,1),2,2,的最小值为,f,(1),2,，最大值为,f,(3),2,；,当,3,x,0,时，,函数,f,(,x,),(,x,1),2,2,的最小值为,f,(,1),2,，,最大值为,f,(,3),2.,故函数,f,(,x,),的值域为,2,2,五、数学思想方法,1,分类讨论思想,解分类讨论问题的实质是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分从而增加题设条件，也是解分类讨论问题总的指导思想,解分类讨论问题有以下几点要予以足够重视：,(1),做到分类讨论不重复、不遗漏；,(2),不断总结经验教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；,(3),注意掌握好基础知识、基本方法，这是解好分类讨论问题的前提条件,【,例,5】,已知集合,A,x,|,ax,2,2,x,1,0,，,a,R,(1),若,A,中只有一个元素，求,a,的值；,(2),若,A,中至多只有一个元素，求,a,的取值范围,解,：,(1),应根据,a,是否为,0,分两种情况进行讨论：,当,a,0,时，则有,4,4,a,0,，即,a,1,，,a,0,或,a,1.,(2),A,中至多只有一个元素，也包括两种情形；,A,中有一个元素，由,(1),知,a,0,或,a,1,；,a,的取值范围是,a,1,或,a,0.,2,数形结合思想,数形结合的思想是数学重要的思想方法之一，数形结合的解题方法的特点是：具有直观性、灵活性、深刻性，有较强的综合性，加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识、打好基础、提高能力是重要的一环,如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点,A,(0,3),，,B,(1,2),，,C,(5,8),从图象观察可得函数,f,(,x,),的表达式：,f,(,x,),的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点,B,(1,2),，所以函数,f,(,x,),的最小值是,2.,答案,：,2,
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