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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.4,二次函数的图象和性质,第,1,课时,学习目标,1经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验;,2会作出y=ax2的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a对二次函数图象的影响;,3能说出y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,复习,一般地,形如,的函数,叫做二次函数,.,其中,是,x,自变量,a,b,c,分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项,.,y=ax,2,+bx+c,(a,、,b,、,c,为常数,a0),二次函数,:,思考,一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢,?,通常怎样画一个函数的图像,?,还记得如何用,描点法画一个,函数的图象呢？,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y,二次函数的图像,画函数,y=x,2,的图像,解,:(1),列表,9,4,1,0,1,4,9,(2),描点,(3),连线,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,根据表中,x,y,的数值在坐标平面中描点,(x,y),再用,平滑曲线,顺次连接各点,就得到,y=x,2,的图像,.,y=x,2,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y,二次函数的图像,请画函数,y=,x,2,的图像,解,:(1),列表,-9,-4,-1,0,-1,-4,-9,(2),描点,(3),连线,根据表中,x,y,的数值在坐标平面中描点,(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到,y=x,2,的图像,.,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,-10,y=,x,2,下面是两个同学画的,2,和,2,的图象,你认为他们的作图正确吗,?,为什么,?,x,y,o,x,y,o,y=x,2,的图像叫做抛物线,y=x,2,y=,x,2,的图像叫做抛物线,y=,x,2,二次函数的图像,从图象可以看出,二次函数,y=x,2,和,y=,x,2,的图像都是一条曲线，这条曲线叫做抛物线,y=x,2,y=,x,2,实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口向上或者向下，一般地，二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图像叫做抛物线,y=ax,2,+bx+c,x,y,o,x,y,o,二次函数的图像,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,.,抛物线,y=x,2,的顶点,(0,0),是它的最低点,.,抛物线,y=,x,2,的顶点,(0,0),是它的最高点,.,y=x,2,y=,x,2,从图象可以看出,二次函数,y=x,2,和,y=,x,2,的图像都是轴对称图形,y,轴是它们的对称轴,.,实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点,例题与练习,x,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,y=x,2,例,1.,在同一直角坐标系中画出函数,y=x,2,和,y=2x,2,的图像,解,:(1),列表,(2),描点,(3),连线,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,1,2,x,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,y=2x,2,8,2,0,2,8,8,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,4.5,1,2,观察,共同点,:,不同点,:,开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，对称轴是,y,轴，,除顶点外,图像都在,x,轴上方,开口大小不同,函数,y=x,2,y=2x,2,的图像与函数,y=x,2,的图像相比,有什么共同点和不同点,?,1,2,性质：,a0,，,图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，,a,越大开口越小，反之越大,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,y=x,2,y=2x,2,y=0.5x,2,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,-10,在同一直角坐标系中画出函数,y=,x,2,和,y=,2x,2,的图像,1,2,y=,x,2,1,2,y=,2x,2,x,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,y=-x,2,0,-2,-2,-8,-8,x,-2,-1,0,1,2,y=2x,2,0,-2,-2,-8,-8,函数,y=,x,2,y=,2x,2,的图像与,y=-x,2,的图像相比,有什么共同点和不同点,?,1,2,观察,共同点,:,不同点,:,开口向下，,顶点是原点，对称轴是,y,轴,，顶点是抛物线的最高点,除顶点外,图像都在,x,轴下方,开口大小不同,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,-10,y=,x,2,1,2,y=,2x,2,y=x,2,性质：当,a,0,时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，,a,越大，抛物线的开口越大。,1,、抛物线,y=ax,2,的顶点是原点，对称轴是,y,轴。,2、当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方除顶点外，它的开口向上，并且向上无限伸展；a越大，抛物线的开口越小,当a0,时，在对称轴的,左侧，,y,随着,x,的增大而,减小。,当,a0,时，在对称轴的,右侧，,y,随着,x,的增大而,增大。,当,a0,时，在对称轴的,左侧，,y,随着,x,的增大而,增大。,当,a0,时，在对称轴的,右侧，,y,随着,x,的增大而,减小。,y,ax,2,a,0,a,0,图象,开口,对称性,顶点,增减性,二次函数,y=ax,2,的性质,开口向上,开口向下,a,的绝对值越大，开口越小,关于,y,轴对称,顶点坐标是原点0，0,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减,在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增,在对称轴右侧递减,O,O,观察函数y=x2的图象,那么以下判断中正确的选项是(),(A)假设a,b互为相反数,那么x=a与x=b 的函数值相等;,(B)对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应.,(C)对任一个实数y,有两个x和它对应.,(D)对任意实数x,都有y0.,x,y,o,A,例题与练习,1抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，,y随着x的增大而增大；在 侧，,y随着x的增大而减小，当x=时，,函数y的值最小，最小值是 ,抛物,线y=2x2在x轴的 方除顶点外。,2抛物线 在x轴的 方除顶点外，当x0时，y随着x的 ；当x0时，y随着x的 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，当x 0时，y0.,0，0,y,轴,对称轴的右,对称轴的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,0,确定二次函数的表达式,学习目标,1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；重点,2、能根据条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较简便的求出二次函数表达式。难点,课前复习,思考,二次函数有哪几种表达式？,一般式：,y=ax,2,+bx+c,(a0),顶点式：,y=a(x-h),2,+k,(a0),交点式：,y=a(x-x,1,)(x-x,2,),(a0),例题选讲,解：,所以，设所求的二次函数为,y=a(x,1),2,-6,由条件得：,点,(2,3),在抛物线上，,代入上式，得,3=a2+12-6,得 a=1,所以，这个抛物线表达式为,y=(x,1),2,-6,即：,y=x,2,+2x,5,例,1,例题,封面,因为二次函数图像的顶点坐标是1，6，,抛物线的顶点为1，6，与轴交点为,2，3求抛物线的表达式？,例题选讲,解：,设所求的二次函数为,y=ax,2,+bx+c,将,A,、,B,、,C,三点坐标代入得：,a-b+c=6,16a+4b+c=6,9a+3b+c=2,解得：,所以：这个二次函数表达式为：,a=1,b=-3,c=2,y=x,2,-3x+2,已知点,A,（,1,6,）、,B,（,2,3,）和,C,（,2,7,），,求经过这三点的二次函数表达式。,o,x,y,例,2,例题,封面,例题选讲,解：,所以设所求的二次函数为y=a(x1)(x1,由条件得：,已知抛物线与,X,轴交于,A,（,1,，,0,），,B,（,1,0,）,并经过点,M,（,0,1,），求抛物线的表达式？,y,o,x,点,M(0,1),在抛物线上,所以,：,a(0+1)(0-1)=1,得：,a=-1,故所求的抛物线表达式为,y=,-,(x,1)(x-1),即：,y=,x,2,+1,例题,例,3,封面,因为函数过A1，0，B1,0两点：,小组探究,1、二次函数对称轴为x=2，且过3，2、-1,10两点，求二次函数的表达式。,2、二次函数极值为2，且过3，1、,-1,1两点，求二次函数的表达式。,解：设,y=a(x-2),2,-k,解：设,y=a(x-h),2,+2,例题选讲,有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度,为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里,(如下图)，求抛物线的表达式,例,4,设抛物线的表达式为,y=ax,2,bx,c,，,解：,根据题意可知,抛物线经过,(0,，,0),，,(20,，,16),和,(40,，,0),三点,可得方程组,通过利用给定的条件,列出,a,、,b,、,c,的三元,一次方程组，求出,a,、,b,、,c,的值，从而确定,函数的解析式,过程较繁杂，,评价,封面,练习,例题选讲,有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度,为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里,(如下图)，求抛物线的表达式,例,4,设抛物线为,y=a(x-20),2,16,解：,根据题意可知,点,(0,，,0),在抛物线上，,通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活,评价,所求抛物线表达式为,封面,练习,用待定系数法求函数表达式的一般步骤,:,1,、设出适合的函数表达式；,2、把条件代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组；,3、解方程组求出待定系数的值；,4,、写出一般表达式。,课堂小结,求二次函数表达式的一般方法：,图象上三点或三对的对应值，,通常选择一般式,图象的顶点坐标、对称轴或和最值,通常选择顶点式,图象与x轴的两个交点的横x1、x2，,通常选择交点式。,y,x,o,封面,确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。,
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