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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本章重点讲述：,A 线性微分方程的根本理论；,B 常系数线性方程的解法；,C 某些高阶方程的降阶和二阶方程的幂级数解法。,对于二阶及二阶以上的微分方程的解包括根本理论和求解方法。这局部内容有两局部：,1、线性微分方程组：在第四、五章讨论,2、非线性微分方程组：在第六章简单介绍,4.1 线性微分方程的一般理论,第四章 高阶微分方程,一、引言,n阶线性微分方程一般形式:,称(4.2)为n阶齐次线性微分方程，简称齐次线性方程，而(4.1),称为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性方程。把(4.2),叫做对应于方程(4.1)的齐次线性微分方程。,其中 及 都是区间 上的连续函数,如果 ，那么方程变为,其中 及 都是区间 上的连续函数,其中 及 都是区间 上的连续函数,如果 ，那么方程变为,如果 ，那么方程变为,定理1方程(4.1)的解的存在唯一性定理,如果 及 都是区间 上的连续函,数，那么对于任一 及任意的 ，方程,(4.1)存在唯一解 ，定义于区间 上，且满足初,值条件,定理2叠加原理,如果,二、齐次线性微分方程的解的性质与结构,是方程(4.2)的k个解，,那么它们的线性组合,也是方程4.2的解，这里,为任意常数。,特别地，当,时，即方程4.2有解,它含有,个任意常数，问题：,它是n阶齐次线性方程4.2的通解吗？,线性相无关、朗斯基(Wronsky)行列式,线性相无关的定义,如果存在不全为零的常数 ，使得,定义在区间 上的函数,对于所有 都成立，那么称这些函数是线性相关的，否那么称这些函数在所给区间上线性无关。,例如 在任何区间上都是线性无关的；,在任何区间上都是线性相关的；,在任何区间上都是线性相关的。,朗斯基行列式的定义,称为这些函数的,朗斯基行列式,定义k个k-1次可微的函数,所成的行列式,定理 3,假设函数,证明:,由假设知，存在一组不全为零的常数,依次对t微分得到下面的方程组,在区间 上线,性相关，那么在 上它们的朗斯基行列式,可以看成关于 的齐次线性代数方程组，它的,系数就是朗斯基行列式,要使此方程组存在非零解，那么它的系数行列式必须,为零，即朗斯基行列式在区间a,b上为零。,注意：上述定理的逆命题不成立。例如：,设,在区间 上满足 ，但它们在此区间上却是线性无关的。因为，假设存在恒等式 ，那么,当 时，得 ；当 时，又可推得 ，所以 线性无关。,问题：,如何应用朗斯基行列式判定函数相关性？,如果 是齐次线性微分方程4.2的解，那么有下述定理,定理4：如果 是齐次线性微分方程4.2的n个解，那么它们在区间,上线性无关的充分必要条件是朗斯基行列式,在这个区间的任何点上都不等于零。,n,阶齐次线性微分方程,(4.2),的,n,个解构成的,朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零；,2.,在是解的情况下，朗斯基行列式恒为零与,这,n,个解线性相关等价；,3.,在是解的情况下，朗斯基行列式恒不为零,与这,n,个解线性无关等价；,4.,一般情况下，上述结论不一定成立。,说明：,定理5,n阶齐次线性微分方程(4.2)一定存在n,个线性无关解。,定理6通解结构定理,如果,是方程(4.2)的n个线性无关解，那么方程(4.2)的通解为,其中,是任意常数。且它包含了方程,4.2的所有解。,推论:方程4.2的线性无关解的最大个数是n;且n阶齐次线性微分方程的所有,解构成一个n维线性空间。,方程4.2的n个线性无关解称为方程的一个根本解组。,三、非齐次线性微分方程与常数变易法,性质1,如果,是方程(4.1)的解，而,是对应的齐线性,方程(4.2)的解，,那么,是非齐线性方程4.1的解。,性质2,非齐线性方程4.1的任意两个解之差是其对应的齐线性方程4.2的解。,性质3,设方程4.1的非齐次项为,，且,与,分别是方程,的解，那么,是方程,的解。,注,：该性质称为非齐线性方程的解的,叠加原理,定理7 假设,是齐线性方程4.2,那么非齐线性方程4.1的通解可表为,其中,为任意常数，且它包括了方程,的一个根本解组，而,是非齐线性方程4.1的解，,4.1的所有解。,求解非齐线性方程4.1的常数变易法：,设,根本解组，那么其通解可表示为,是对应的齐线性方程(4.1)的一个,那么非齐次线性方程的通解可由,得出,将所得,代入到,中，,得非齐线性方程4.1的通解为,解,应用常数变易法，令,代入方程可得,例1,解得,所以,于是原方程通解为,例2,解,对应齐次方程,方程可改写为,易得方程的通解为,因此方程根本解组为,容易计算得到原方程的通解为,例2,首先将原方程改写为,为什么要这样？,设,代入可得,作业,P131 1,2,3135,
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