资源描述
,基础知识,1,正多面体的定义：,每一个面都是有相同边数的,，每个顶点为端点都有,的凸多面体,2,当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，采用“,割,”或“,补,”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(如柱、锥),正多边形,相同棱数,3球,(1)定义：到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体,(2)性质：,用一个平面去截一个球，截面是,球心和截面圆心的连线,球心到截面的距离,d,与球的半径,R,及截面圆的半径,r,有以下关系：,球面被经过球心的平面截得的圆叫,，被不经过球心的平面截得的圆叫,圆面,垂直于截面,大圆,小圆,在球面上两点之间的最短连线的长度，就是,，这个弧长叫两点的球面距离,(3)球面面积和球的体积公式：,4,球是区别于多面体的一种几何体，也是常见的旋转体球是既,对称又是,轴,对称的几何体，它的任何截面均为,，因此球的问题常转化为圆的有关问题来解决,经过,这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,中心,圆面,5球的表面积和体积都是关于,的代数式，明确公式的系数和球半径,R,的幂在应用时，关键确定球半径,R,的值,6,计算球面上,A,、,B,两点间的球面距离的一般步骤：,(1),；,(2),；,(3)计算大圆弧,的长,7,关于组合体问题(球与多面体的“切”与“接”)关键在于掌握其位置关系，解决时常画出它们的,，在轴截面中寻找,计算线段,AB,的长,计算,A,、,B,对球心,O,的张角,AOB,轴截面,各量之间的关系,球半径,R,易错知识,一、空间位置考虑不周导致失误,1过球面上任意两个不同的点，可以作,个球的大圆,1个或无数,二、球的性质应用错误,2(2008湖北3)如图所示，一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为,，则球的体积为(),解题思路：,设球半径为,R,，截面圆半径为,r,，根据,r,2,r,1.,又,OQ,1,1，,R,从而得球的体积,失分警示：,对球的性质掌握不好，,OO,1,截面圆,O,1,及Rt,OO,1,A,中勾股定理的运用，还有球的表面积公式的应用不够灵活，导致该题失分,答案：,B,3如图，已知直平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的各条棱长均为3，,BAD,60，长为2的线段,MN,的一个端点,M,在,DD,1,上运动，另一端点,N,在底面,ABCD,上运动，则,MN,的中点,P,的轨迹(曲面)与共一顶点,D,的三个面所围成的几何体的体积为(),解题思路：,连结,DN,，,DP,，如图，由直平行六面体的性质，,M,在,DD,1,上运动，,N,在面,ABCD,内运动，,MD,与,ND,始终保持垂直，即,MND,总为Rt，且,MN,为定长2，又因为,P,为,MN,的中点，根据Rt斜边的中线等于斜边长的一半，得,DP,MN,1，于是得,P,到定点,D,的距离,DP,为定值1.,动点,P,在以,D,为球心，以1为半径的球面上且在平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,内部的部分，从而所求的几何体为球体的一部分,此几何体为半球的 ，即整个球的 ，,失分警示：,误区1：不能灵活运用直平行六面体的性质、直角三角形的性质和球面、球体的概念，结合较强的空间想象能力，准确找出所求的几何体的形状，而无从下手,误区2：受平行六面体直观图的影响，误以为是正方体，得所求的几何体为球的 而选C.或者没有考虑,P,的轨迹的范围，而误以为是整个球体，而错选D.,答案：,A,回归教材,1下列结论正确的是(),A过球面上两点，可确定球的一个大圆,B过球直径的三等分点的平面不可能平分球,C过球面上三点，可确定一个大圆,D若,A,、,B,、,C,是球面上三点，则过三点的球的截面圆周是,ABC,的外接圆,解析：,对于A，当球面上两点为球的直径的两个端点时，经过这两点可作无数个大圆，故A不正确；对于B，若过球的直径的三等分点的平面恰好过此直径，则它平分球，故B不正确；对于C，如果这三点在一个小圆上，由不共线三点确定一个圆可知，这三点不可能再确定一个大圆，故C不正确；对于D，由于,A,、,B,、,C,不共线，故可确定一个圆，它是,ABC,的外接圆(截面圆周)，故D正确,答案：,D,2长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是,(),A25,B50,C125,D都不对,解析：,设长方体的体对角线长为,l,，外接球半径为,R,，则,l,2,3,2,4,2,5,2,50，又,R,，,S,球表,4,R,2,4,l,2,50,.,答案：,B,3一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是(),解析：,如图,OO,1,AB,，,AO,1,3cm，,OO,1,4cm，,则,OA,5cm.,答案：,C,4(2009辽宁，5)如果把地球看成一个球体，则地球上北纬60纬线长和赤道线长的比值为(),A0.8 B0.75 C0.5 D0.25,解析：,作出截面图由图可知,2,r,2,R,sin30 故选C.,答案：,C,5(2009崇文模拟)球面上三点,A,、,B,、,C,组成这个球的一个截面的内接三角形，,AC,15，,BC,12，,AB,9，且球心到该截面的距离为球半径的一半，那么球的体积为_，,A,、,C,两点间的球面距离为_,【例1】,(2008四川非延考区，8)设,M,、,N,是球,O,半径,OP,上的两点，且,NP,MN,OM,，分别过,N,、,M,、,O,作垂直于,OP,的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为“(),A3：5：6 B3：6：8,C5：7：9 D5：8；9,命题意图,本小题考查球的截面的性质，求解时应先作出球的轴截面图,解析,作出球的轴截面图如右图,设球的半径为3,R,，,答案,D,(2009北京朝阳一模)用一平面去截体积为 的球，所得截面的面积为,，则球心到截面的距离为(),解析：,如图，设球的半径为,R,，,截面圆的半径为,r,，,则球心到截面的距离为.,(2009福建质检)已知,A,、,B,为球面上的两点，,O,为球心，且,AB,3，,AOB,120，则球的体积为_,解析：,设球的半径为R，则OAOBR由余弦定理得：,AB,2,R,2,R,2,2,R,2,cos120,R,.,【例2】,设地球的半径为,R,，在北纬45圈上有两个点,A,、,B,，,A,在西经40，,B,在东经50，求,A,、,B,两点间纬线圈的弧长及,A,、,B,两点间的球面距离,解析,如图，设45纬线圈中心为,O,1,，地球中心为,O,，则,AO,1,B,405090.,又,OO,1,圆,O,1,所在平面，,OO,1,O,1,A,，,OO,1,O,1,B,.,又,A,、,B,在北纬45圈上，,OBO,1,OAO,1,45.,O,1,A,O,1,B,O,1,O,OA,cos45,在直角,AO,1,B,中，,AO,1,BO,1,，,A,、,B,两点间纬线圈的弧长为,A,、,B,两点间的球面距离为,反思归纳,要正确理解球面上两点距离和两点间的直线距离的区别与联系(要求球面距离，必先求两点的直线距离)注意球面上两点距离的求法步骤(如图所示，解O,1,AB得AB长；解OAB得AOB的弧度数；利用l|R，即得球面上A、B两点间的距离),(2009四川，8)如图所示，在半径为3的球面上有,A,、,B,、,C,三点，,ABC,90，,BA,BC,，球心,O,到平面,ABC,的距离是 则,B,、,C,两点的球面距离是 (),解析：,ABC,90，,AB,BC,.设,ABC,外接圆圆心为,O,1,，则,O,1,在,AC,中点外,OO,1,OA,3，,AO,1,BC,3，,BOC,.,B,、,C,两点的球面距离,d,3,.,【例3】,正四面体棱长为,a,，求其外接球和内切球的表面积,解析,正四面体的外接球和内切球是同心球，且球心在正四面体一截面的高上,解法一：如图，正四面体,P,ABC,中，内切球切底面,ABC,于,E,，切侧面,PAB,于,F,，则,E,、,F,为底面和侧面的中心，连结,PE,，则,PE,平面,ABC,，取,AB,中点,D,，连结,PD,、,CD,，,F,、,E,分别在,PD,、,CD,上，设内切球半径为,r,，外接球半径为,R,，,r,OE,，,R,OP,，,总结评述,(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等,(2)多面体的体积等于多面体的表面积与其内切球半径乘积的,(3)正多面体的内切球和外接球的球心重合,(4)并非所有的多面体都有外接球或内切球,(2009全国，15)直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的各顶点都在同一球面上若,AB,AC,AA,1,2，,BAC,120，则此球的表面积等于_,答案：,20,解析：,如图，,O,为球心，,D,为三角形,ABC,的外心，根据题意得,ABC,为等腰三角形，底角为 由正弦定理得 求得,AD,2，又,OD,1，则球的半径为，表面积为20,，故填20,.,1球的问题经常转化到相关圆的问题解决，关于多面体与球的切、接问题关键是找出切、接点，把空间问题转化为平面问题解决,2经纬度是球面上规定的一种坐标系，解球面上经纬问题，首先要搞清楚经度和纬度的定义，掌握代表经度和纬度的角或二面角及球面上两点之间的距离的定义，然后再用几何及三角知识求角,3要注意把空间问题转化到平面的方法,
展开阅读全文