直线方程复习小结课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,直线,与方程小结（1）,在直线,l,：,3,x,y,1,0,上求一点,P,，使得,P,到,A,(4,1),和,B,(3,4),的距离之和最小,又,|,PA,|,|,PB,|,|,PA,|,|,PB,|,，,解：,设点,B,关于直线,3,x,y,1,0,上的对称点为,B,(,a,，,b,),，,已知正方形的中心为,G,(,1,0),，一边所在直线的方程,为,x,3,y,5,0,，求其他三边所在直线方程,设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为,解得,C,1,5,或,C,1,7.,解：,正方形的中心,G,(,1,0),到四边距离均为,故与已知边平行的直线方程为,x,3,y,7,0.,设正方形另一组对边所在直线方程为,3,x,y,C,2,0,，,解得,C,2,9,或,C,2,3.,所以正方形另两边所在直线的方程为,3,x,y,9,0,和,3,x,y,3,0.,综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为,x,3,y,7,0,3,x,y,9,0,3,x,y,3,0.,直线的方程,基础知识 自主学习,要点梳理,1.,直线的倾斜角与斜率,（,1,）直线的倾斜角,定义：当直线,l,与,x,轴相交时，我们取,x,轴作为基,准，,x,轴,与直线,l,方向之间所成的角 叫,做直线,l,的倾斜角,.,当直线,l,与,x,轴平行或重合时，,规定它的倾斜角为,.,倾斜角的范围为,.,正向,向上,0,180,0,(2),直线的斜率,定义：一条直线的倾斜角 的,叫做这条,直线的斜率，斜率常用小写字母,k,表示，即,k,=,，,倾斜角是,90,的直线斜率不存在,.,过两点的直线的斜率公式,经过两点,P,1,（,x,1,y,1,）,P,2,(,x,2,y,2,)(,x,1,x,2,),的直线,的斜率公式为,k,=,正切值,tan,2.,直线方程的五种形式,名称,方程,适用范围,点斜式,不含垂直于,x,轴的直线,斜截式,不含垂直于,x,轴的直线,两点式,不含直线,x,=,x,1,（,x,1,x,2,）,和直线,y,=,y,1,（,y,1,y,2,）,截距式,不含垂直于坐标轴和过原,点的直线,一般式,平面直角坐标系内的直线,都适用,3.,过,P,1,（,x,1,，,y,1,），,P,2,（,x,2,，,y,2,）的直线方程,（,1,）若,x,1,=,x,2,且,y,1,y,2,时，直线垂直于,x,轴，方程,为,;,(2),若,x,1,x,2,且,y,1,=,y,2,时，直线垂直于,y,轴，方程为,;,(3),若,x,1,=,x,2,=0,，且,y,1,y,2,时，直线即为,y,轴，方程,为,;,(4),若,x,1,x,2,且,y,1,=,y,2,=0,时，直线即为,x,轴，方程,为,.,x,=,x,1,y,=,y,1,x,=0,y,=0,4.,线段的中点坐标公式,若点,P,1,、,P,2,的坐标分别为（,x,1,，,y,1,），,（,x,2,，,y,2,），且线段,P,1,P,2,的中点,M,的坐标为（,x,y,），,则 ，此公式为线段,P,1,P,2,的中点,坐标公式,.,题型一 直线的倾斜角,【,例,1,】,若 ，则直线,2,x,cos +3,y,+1=0,的倾斜角的取值范围是 （）,A.B.,C.D.,题型分类 深度剖析,思维启迪,从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的,范围，再确定倾斜角范围,.,解析,设直线的倾斜角为,则,tan =-cos ,又 ，,0,cos ,cos,0,即,-tan,0,注意到,0,.,答案,B,思维启迪,从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的,范围，再确定倾斜角范围,.,解析,设直线的倾斜角为,则,tan =-cos ,又 ，,0,cos ,cos,0,即,-tan,0,注意到,0,.,答案,B,探究提高,（,1,）求一个角的范围，是先求这个角,某一个函数值的范围，再确定角的范围,.,（,2,）在已知两个变量之间的关系式要求其中一,个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得,到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余,弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的,是消去变量 得到。,题型二 直线的斜率,【,例,2,】,已知直线,l,过点,P,（,-1,，,2,），且与以,A,（,-2,，,-3,），,B,（,3,，,0,）为端点的线段相交，,求直线,l,的斜率的取值范围,.,分别求出,PA,、,PB,的斜率，直线,l,处,于直线,PA,、,PB,之间，根据斜率的几何意义利,用数形结合即可求,.,解,方法一,如图所示，直线,PA,的斜率,直线,PB,的斜率,思维启迪,当直线,l,绕着点,P,由,PA,旋转到与,y,轴平行的位置,PC,时，它的斜率变化范围是,5,，,+,）；,当直线,l,绕着点,P,由,PC,旋转到,PB,的位置时，它的斜,率的变化范围是,直线,l,的斜率的取值范围是,方法二,设直线,l,的斜率为,k,，则直线,l,的方程为,y,-2=,k,（,x,+1,），,即,kx,-,y,+,k,+2=0.,A,、,B,两点在直线的两侧或其中一点在直线,l,上，,（,-2,k,+3+,k,+2,）（,3,k,-0+,k,+2,）,0,，,即,（,k,-5,）（,4,k,+2,）,0,，,k,5,或,k,-.,即直线,l,的斜率,k,的取值范围是,5,，,+,）,.,方法一,运用了数形结合思想,.,当直线,的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，,需根据正切函数,y,=tan,的单调性求,k,的范围，数,形结合是解析几何中的重要方法,.,解题时，借助图,形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快,捷解题的目的,.,方法二则巧妙利用了不等式所表示,的平面区域的性质使问题得以解决,.,探究提高,三、解答题,10.,已知线段,PQ,两端点的坐标分别为（,-1,，,1,）、,（,2,，,2,），若直线,l,:,x,+,my,+,m,=0,与线段,PQ,有交点，,求,m,的范围,.,解,方法一,直线,x,+,my,+,m,=0,恒过,A,（,0,，,-1,）点,.,k,AP,=-2,，,又,m,=0,时直线,x,+,my,+,m,=0,与线段,PQ,有交点，,所求,m,的范围是 ,m,.,方法二,过,P,、,Q,两点的直线方程为,y,-1=,即,代入,x,+,my,+,m,=0,整理得：,由已知,-1 2,解得：,-,m,.,题型三 求直线的方程,【,例,3,】,求适合下列条件的直线方程：,（,1,）经过点,P,（,3,，,2,），且在两坐标轴上的截距,相等；,（,2,）经过点,A,（,-1,，,-3,），且倾斜角等于直线,y,=,3,x,的倾斜角的,2,倍,.,选择适当的直线方程形式，把所需要,的条件求出即可,.,解,（,1,）,方法一,设直线,l,在,x,y,轴上的截距均为,a,若,a,=0,，即,l,过点（,0,，,0,）和（,3,，,2,），,l,的方程为,y,=,x,，即,2,x,-3,y,=0.,思维启迪,若,a,0,，则设,l,的方程为,l,过点（,3,，,2,），,a,=5,，,l,的方程为,x,+,y,-5=0,综上可知，直线,l,的方程为,2,x,-3,y,=0,或,x,+,y,-5=0.,方法二,由题意知，所求直线的斜率,k,存在且,k,0,设直线方程为,y,-2=,k,(,x,-3),令,y,=0,，得,x,=3-,令,x,=0,得,y,=2-3,k,由已知,3-=2-3,k,，解得,k,=-1,或,k,=,直线,l,的方程为,y,-2=-,（,x,-3,）或,y,-2=(,x,-3),即,x,+,y,-5=0,或,2,x,-3,y,=0.,（,2,）由已知：设直线,y,=3,x,的倾斜角为 ，,则所求直线的倾斜角为,2 .,tan =3,tan 2 =,又直线经过点,A,（,-1,，,-3,），,因此所求直线方程为,y,+3=-(,x,+1),即,3,x,+4,y,+15=0.,探究提高,在求直线方程时，应先选择适当的直,线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用,斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两,点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能,表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题,时，若采用截距式，应注意分类讨论，,判断截距,是否为零，,若采用点斜式，应先,考虑斜率不存在,的情况,.,专题二,距离公式,例,2,：,已知点,P,(2,，,1),，求：,(1),过,P,点与原点距离为,2,的直线,l,的方程；,(2),过,P,点与原点距离最长的直线,l,的方程并求出最大距离；,(3),是否存在过,P,点且与原点距离为,6,的直线？若存在，求,出方程；若不存在，请说明理由,解：,(1),过,P,点的直线,l,与原点距离为,2,，而,P,点坐标为,(2,1),，,可见，过,P,(2,1),垂直于,x,轴的直线满足条件，此时,l,的斜率不存,在，其方程为,x,2.,若斜率存在，设,l,的方程为,y,1,k,(,x,2),，,即,kx,y,2,k,1,0.,此时,l,的方程为,3,x,4,y,10,0.,综上，可得直线,l,的方程为,x,2,或,3,x,4,y,10,0.,(2),作图可知过,P,点与原点,O,距离最大的直线是过,P,点且与,PO,垂直的直线，,由直线方程的点斜式得,y,1,2(,x,2),，,即,2,x,y,5,0,，,即直线,2,x,y,5,0,是过,P,点且与原点,O,距离最大的直线，,直线，因此不存在过,P,点且到原点距离为,6,的直线,方法二：设过,P,点到原点距离为,6,的直线的斜率存在且方,程为,y,1,k,(,x,2),，即,kx,y,2,k,1,0.,即,32,k,2,4,k,35,0.,因,16,432350,，故方程无解,所以不存在这,样的直线,方法与技巧,1.,要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值,范围，熟记斜率公式：,k,=,，该公式,与两点顺序无关，已知两点坐标（,x,1,x,2,）时，,根据该公式可求出经过两点的直线的斜率,.,当,x,1,=,x,2,，,y,1,y,2,时，直线的斜率不存在，此时直,线的倾斜角为,90.,思想方法 感悟提高,2.,求斜率可用,k,=tan,（,90,），其中 为倾,斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分,割，牢记：“斜率变化分两段，,90,是分界，遇,到斜率要谨记，存在与否需讨论”,.,3.,求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方,程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系,数法,.,4.,重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线,上设一任意点,P,（,x,，,y,），再找出,x,，,y,的一次关,系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直,线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求,.,失误与防范,1.,求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；,每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存,在斜率,.,2.,根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；,二是要考虑正切函数的单调性,.,3.,利用一般式方程,Ax,+,By,+,C,=0,求它的方向向量为,（,-,B,，,A,）不可记错，但同时注意方向向量是不,唯一的,.,4.,利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三,种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求,出垂直于,x,轴的直线方程,.,二、例题分析,注,：,判断两直线平行时,要检验是否重合,！,专题二,距离公式,例,2,：,已知点,P,(2,，,1),，求：,(1),过,P,点与原点距离为,2,的直线,l,的方程；,(2),过,P,点与原点距离最长的直线,l,的方程,并求出最大距离；,(3),是否存在过,P,点且与原点距离为,6,的直线？,若存在，求出方程；若不存在，请说明理由,（,4,）,过,P,点作 一条直线，它夹在两条直线,2x-y-2=0,和,x+y-3=0,之间的线段恰好被点,P,平分，求这条直线方程,解：,