概率论与数理统计ppt课件04A-重要分布

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四章：重要分布,01分布,二项分布,超几何分布,普哇松,Poisson,分布,指数分布,1,第四章：重要分布01分布1,01分布,1. 01分布的定义:,设随机事件A在一次试验中出现的概率为P,x,为事件A在一次试验中出现的次数,则,x,的概率分布为:,x,0,1,P,1-p,P,则称随机变量,x服从0-1分布.,2,01分布1. 01分布的定义:x01P1-pP则称随机,01分布,2. 01分布的期望与方差:,3,01分布2. 01分布的期望与方差:3,二项分布,1. 二项分布的背景:,如果事件A在一次试验中发生的概率为p, 重复进行n次试验, 则由贝努里定理知, 事件A在这n次试验中发生k次的概率为:,4,二项分布1. 二项分布的背景:4,二项分布,2. 二项分布的定义:,如果随机变量,x,有概率函数:,其中,0,p,1,q,=1,-,p,则称,x,服从参数为n,p的二项分布. 简记作,x,B,(,n,p,).,5,二项分布2. 二项分布的定义:5,二项分布,如果,x,B,(,n,p,),则,x,可看作是由n个取1概率为p的相互独立的0-1分布的随机变量,x,i,(,i,=1,2,.,n),的和, 即,x,=,x,1,+,x,2,+.+,x,n,其中,x,i,是随机事件A在第i次试验中出现的次数,且 P(A)=p,6,二项分布如果xB(n,p), 则x可看作是由n个取1概率为,二项分布,可以证明:,即:,7,二项分布可以证明: 即:7,二项分布,3. 二项分布的分布函数:,8,二项分布3. 二项分布的分布函数:8,二项分布,4. 二项分布的相关概率计算:,9,二项分布4. 二项分布的相关概率计算:9,二项分布,5.服从二项分布随机变量的最可能取值:,10,二项分布5.服从二项分布随机变量的最可能取值:10,二项分布,6.服从二项分布随机变量的期望与方差:,11,二项分布6.服从二项分布随机变量的期望与方差:11,某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4, 求最近6天内用水量正常的天数的分布.,解: 设最近6天内用水量保持正常的天数为,x, 则,x,B,(6,0.75,),因此,例1,12,某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4, 求最近6天内用水量,其分布表如下表所示,x,0,1,2,3,4,5,6,P,0.0002,0.0044,0.033,0.1318,0.2966,0.356,0.178,概率分布图为:,例1,13,其分布表如下表所示x0123456P0.00020.0044,10部机器各自独立工作, 因修理调整的原因, 每部机器停车的概率为0.2. 求同时停车数目,x,的分布.,x,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,P,0.11,0.27,0.3,0.2,0.09,0.03,0.01,0,0,0,0,解:,x,B,(10,0.2),用贝努里公式计算,P(,x=k),如下表,所示,例2,14,10部机器各自独立工作, 因修理调整的原因, 每部机器停车的,概率分布图如下图所示:,0.00,0.05,0.10,0.15,0.20,0.25,0.30,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,例2,15,概率分布图如下图所示:0.000.050.100.150.2,一批产品的废品率,p,=0.03, 进行20次重复抽样(每次抽一个, 观察后放回去再抽下一个), 求出现废品的频率为0.1的概率.,解: 令,x,表示20次重复抽取中废品出现的次数,则,x,B,(20, 0.03),例3,16,一批产品的废品率p=0.03, 进行20次重复抽样(每次抽一,一些例子,(1)如果是反复地掷硬币试验掷了100次, 则,x,B,(100,0.5), 最可能值是,k,0,=100,0.5+0.5=50+0.5=50,(2)如果,x,B(1000,0.3), 则最可能值是,k,0,=,10000.3+0.3=300,(3)在实际应用中, np+p正好是整数的情况几乎不存在,但也不排出特殊情况的可能.,17,一些例子(1)如果是反复地掷硬币试验掷了100次, 则xB,某批产品有80%的一等品, 对它们进行重复抽样检验, 共取出4个样品, 求其中一等品数,x,的最可能值,k,0, 并用贝努里公式验证.,解:,x,B,(4, 0.8),因,np,+,p,=4,0.8+0.8=4是整数, 所以,k,0,=4和,k,0,=3时,P,x,=,k,为最大, 即3和4为最可能值.,x,0,1,2,3,4,P,0.0016,0.0256,0.1536,0.4096,0.4096,例4,18,某批产品有80%的一等品, 对它们进行重复抽样检验, 共取出,超几何分布,1. 超几何分布的背景:,设N个元素分为两类, 有N,1,个元素属于第一类, N,2,个元素属于第二类(N,1,+N,2,=N). 从中按不重复抽样取n个(n不大于N,1, 也不大于N,2,), 则这n个元素中恰好抽到m个第一类元素的概率为:,19,超几何分布1. 超几何分布的背景:19,2. 超几何分布的定义:,如果随机变量,x,有概率函数:,则称随机变量,x,服从超几何分布,超几何分布,20,2. 超几何分布的定义:则称随机变量x服从超几何分布超几何分,可以证明:,超几何分布,或,21,可以证明:超几何分布或21,3. 超几何分布的数学期望,超几何分布,22,3. 超几何分布的数学期望超几何分布22,超几何分布,证明:,23,超几何分布证明:23,3. 超几何分布的方差:,超几何分布,24,3. 超几何分布的方差:超几何分布24,超几何分布,证明:,25,超几何分布证明:25,超几何分布,证明(续),26,超几何分布证明(续)26,超几何分布,4. 超几何分布的极限分布为二项分布:,27,超几何分布4. 超几何分布的极限分布为二项分布:27,超几何分布,证明:,28,超几何分布证明:28,超几何分布,证明(续):,因此, 如果,x,服从超几何分布, 则当抽样数,n,保持不变且远小于样本数,N,即也小于,N,1,和,N,2,时,29,超几何分布证明(续):因此, 如果x服从超几何分布, 则当抽,在实际应用中,(1)元素的个数,N,是相当大的, 例如, 从中国人民中任抽几千个人观察, 从一个工厂的几十万件产品中任抽几千件观察, 等等.,(2)而在,N,非常大的情况下, 放回抽样和不放回抽样的结果几乎是相同的.,(3)因此有, 当,N,很大的时候, 超几何分布可用二项分布来近似.,(4)或者换句话说, 当,N,趋于无穷时, 超几何分布的极限是二项分布.,30,在实际应用中(1)元素的个数N是相当大的, 例如, 从中国人,一大批种子的发芽率为90%, 今从中任取10粒, 求播种后, (1) 恰有8粒发芽的概率; (2) 不少于8粒发芽的概率.,例3,解: 设10粒种子中发芽的数目为,x,. 因10粒种子是由一大批种子中抽取的, 这是一个N很大, n相对于N很小的情况下的超几何分布问题, 可用二项分布近似计算.其中n=10, p=90%, q=10%, k=8,31,一大批种子的发芽率为90%, 今从中任取10粒, 求播种后,Poisson分布,1. Poisson分布的背景:,普哇松分布常见于所谓稠密性的问题中, 如一段时间内, 电话用户对电话台的呼唤次数, 候车的旅客数, 原子放射粒子数, 织机上断头的次数, 以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等.,32,Poisson分布1. Poisson分布的背景:32,Poisson分布,2. Poisson分布的定义:,如果随机变量,x,有概率函数:,则称随机变量,x服从参数为 的,Poisson分布,记为:,33,Poisson分布2. Poisson分布的定义:则称随机变,Poisson分布,可以证明:,注:,34,Poisson分布可以证明:注:34,Poisson分布,3. Poisson分布的数学期望:,35,Poisson分布3. Poisson分布的数学期望:35,Poisson分布,4. Poisson分布的方差:,36,Poisson分布4. Poisson分布的方差:36,Poisson分布,5. Poisson分布的相关概率计算:,一般, 概率论与数理统计的参考书后都会符有Piosson概率分布表. 只要给出参数 的值, 即可随机变量 取相应值的概率.,37,Poisson分布5. Poisson分布的相关概率计算:3,Poisson分布,例如,参数 的Poisson概率分布表为:,0 1 2 3 4 5 6 7 8,P,0.449329 0.359463 0.143785 0.038343 0.007669 0.001227 0.000164 0.000019 0.000002,38,Poisson分布例如,参数 的P,例1,设,x,服从普哇松分布,E,x,=5,查表求:,P,(,x,=2),P,(,x,=5),P,(,x,=20).,P,5,(2)=0.084224,P,5,(5)=0.175467,P,5,(20)=0,39,例1设x服从普哇松分布, Ex=5, 查表求:P(x=2),Poisson分布,6. 二项分布的极限分布为Poisson分布:,40,Poisson分布6. 二项分布的极限分布为Poisson分,例2,一大批产品的废品率为,p,=0.015, 求任取一箱(有100个产品), 求箱中恰有一个废品的概率.,解:,(1)所取一箱中的废品个数,服从超几何分布, 由于产品数量,N,很大, 可按二项分布公式计算, 其中,n,=100,p,=0.015.,即,41,例2一大批产品的废品率为p=0.015, 求任取一箱(有10,例2,一大批产品的废品率为,p,=0.015, 求任取一箱(有100个产品), 求箱中恰有一个废品的概率.,解:,(2)但由于,n,较大而,p,很小, 可用普哇松分布公式近似代替二项分布公式计算. 其中,l,=,np,=1.5,查表得:,P,1.5,(1)=0.334695,误差不超过1%.,42,例2一大批产品的废品率为p=0.015, 求任取一箱(有10,例3,检查了100个零件上的疵点数, 结果如下表:,疵点数,0,1,2,3,4,5,6,频数,14,27,26,20,7,3,3,试用普哇松分布公式计算疵点数的分布, 并与实际检查结果比较.,43,例3检查了100个零件上的疵点数, 结果如下表:疵点数012,计算出来的图表如下所示:,疵点数,0,1,2,3,4,5,6,频数,14,27,26,20,7,3,3,频率,0.14,0.27,0.26,0.20,0.07,0.03,0.03,概率,0.135,0.271,0.271,0.18,0.09,0.036,0.01,44,计算出来的图表如下所示:疵点数0123456频数142726,频率和概率分布图:,45,频率和概率分布图:45,Poisson分布,7. Poisson分布的最可能值:,46,Poisson分布7. Poisson分布的最可能值:46,指数分布,1. 指数分布的背景:,如随机服务系统中的服务时间, 某些消耗性产品(电子元件等)的寿命等等, 都常被假定服从指数分布.,指数分布经常用来作各种“寿命”分布的近似. 有的书直接将指数分布定义为,“寿命”分布,47,指数分布1. 指数分布的背景:47,指数分布,2. 指数分布的定义:,如随机变量,x,的概率密度为:,显然:,48,指数分布2. 指数分布的定义:显然:48,指数分布,3. 指数分布的分布函数:,x,j,(,x,),x,49,指数分布3. 指数分布的分布函数:xj(x)x49,指数分布,4. 指数分布的可靠度:,50,指数分布4. 指数分布的可靠度:50,指数分布,5. 指数分布的相关概率计算:,51,指数分布5. 指数分布的相关概率计算:51,指数分布,例1 某元件寿命,x,服从参数为,l,(,l,-1,=1000小时)的指数分布, 3个这样的元件使用1000小时后, 都没有损坏的概率是多少?,52,指数分布例1 某元件寿命x服从参数为l(l-1=1000,指数分布,6. 指数分布的数学期望:,53,指数分布6. 指数分布的数学期望:53,指数分布,7. 指数分布的方差:,54,指数分布7. 指数分布的方差:54,