大学物理-高斯定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,大学物理学电子教案,静电场的性质与计算,6-3 电场线 高斯定理,电场线上任一点的切线方向给出了该点电场强度的方向；,某点处,电场线密度,与该点电场强度的大小相等。,1、定义,在电场中画一组带箭头的曲线,这些曲线与电场强度 之间具有以下关系:,6-3 电场线 高斯定理,一、电场线,电场线密度:,经过电场中任一点，作一面积元d,S,，并使它与该点的场强垂直，若通过d,S,面的电场线条数为d,N,，则电场线密度,可见,电场线密集处电场强度大,电场线稀疏处电场强度小,2、几种典型的电场线分布,+,正点电荷,负点电荷,+,等量异号点电荷,带电平行板电容器的电场,+,+,+,+,+,+,+,+,+,不等量异号点电荷的电场线,2,q,+,q,3、电场线的性质,电场线总是起始于正电荷（或来自于无穷远），终止于负电荷（或终止于无穷远）,任何两条电场线都不能相交。,非闭合曲线,4、关于电场线的几点说明,电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在；,电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况,;,电场线图形可以用实验演示出来。,1、定义,在电场中穿过任意曲面的电场线的总条数称为穿过该面的电通量，用 表示。,(1)匀强电场中的电通量,E,与平面,S,垂直时,E,与平面,S,有夹角,时,引入,面积矢量,二、电场强度通量,(2)非均匀电场的电通量,将曲面分割为无限多个面元 ,由于面元很小，所以每一个面元上场强可以认为是均匀电场,面元dS,S,n,dS,2、电通量的正负,闭合曲面,:,规定,取,外法线方向,(,自内向外,),为正。因此有,:,非闭合曲面,:,电通量的结果可正可负，完全取决于面元 与 间的夹角,:,电场线,由内向外,穿出,:,电场线,由外向内,穿入,:,整个闭合曲面的电通量为,1、内容,2、,静电场高斯定理的验证,静电场中通过一个任意闭合曲面的电通量值等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和 除以,0,，与闭曲面外的电荷无关,数学表达式:,包围点电荷的同心球面,S,的电通量都等于,包围点电荷的,任意闭合曲面,S,的电通量都等于,高斯简介,三、高斯定理,对于包围点电荷,q,的任意封闭曲面,q,S,S,电场线,+,q,r,S,S,可在外或内作一以点电荷为中心的同心球面 ,使 内只有点电荷，如图所示。,由电场线的连续性可知，穿过,S,的电场线都穿过同心球面 ，故两者的电通量相等，均为 。,结论说明，单个点电荷包围在任意闭合曲面内时，穿过该闭曲面的电通量与该点电荷在闭曲面内的位置无关。,由于,电场线的连续性,可知，穿入与穿出任一闭合曲面的电通量应该相等。所以当闭合曲面无电荷时，电通量为零。,不包围点电荷,q,的任意闭合曲面,S,的电通量恒为零,点电荷系的电通量等于在高斯面内的点电荷单独存在时电通量的代数和。,利用,场强叠加原理,S,q,设 闭合曲面,S,包围多个电荷,q,1,-,q,k,，,同时面外也有多个电荷,q,k+1,-,q,n,通过闭合曲面S的电通量为,根据，不包围在闭合曲面内的点电荷对闭合曲面的电通量恒为0，所以,当把上述点电荷换成连续带电体时,3、关于高斯定理的说明,高斯定理是反映静电场性质（,有源性,）的一条基本定理；,高斯定理是在,库仑定律,的基础上得出的，但它的应用范围比库仑定律更为广泛；,通过任意闭合曲面的总通量只取决于面内电荷的代数和，而与面外电荷无关，也与电荷如何分布无关,.,但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处的场强大小和方向；,高斯定理中的,电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产生,的，并非只有曲面内的电荷确定；,当闭合曲面上各点 时，通过闭合曲面的电通量 反之,不一定成立,.,高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面,。,电通量计算,当场强分布具有某种特殊的对称性时，应用高斯定理能比较方便求出场强。,求解的关键是选取适当的高斯面。,常见的具有对称性分布的源电荷有：,球对称分布：,包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等,无限大平面电荷：,包括无限大的均匀带电平面，平板等。,轴对称分布：,包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等；,四、高斯定律应用举例,步骤：,1.,进行对称性分析,，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；,2.根据场强分布的特点，作,适当的高斯面,，要求：,待求场强的场点应在此高斯面上，,穿过该高斯面的电通量容易计算。,一般地，高斯面各面元的法线矢量,n,与,E,平行或垂直，,n,与,E,平行时，,E,的大小要求处处相等，使得,E,能提到积分号外面；,3.,计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和,，最后由高斯定理求出场强。,高斯定理的应用举例,1,.均匀带电球面的电场,2,.均匀带电球体的电场,3,.均匀带电无限大平面的电场,5,.,均匀带电,无限长,圆柱面的电场,条件：电荷分布具有较高的空间对称性,6,.均匀带电球体空腔部分的电场,高斯定理的应用,4.均匀带电无限长直线的电场,r,R,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,q,例1.求球面半径为,R,带电为,q,的均匀带电球面的电场的空间分布,。,电场分布也应有球对称性，方向沿径向。,作同心且半径为,r,的高斯面.,r,R,时，高斯面无电荷，,解：,高斯定理的应用,r,0,E,R,+,R,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,r,q,r,R,时，高斯面包围电荷,q，,E,r,关系曲线,高斯定理的应用,结果表明：,均匀带电球面外的电场分布象球面上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该区的电场分布一样。,R,r,电场分布也应有球对称性，方向沿径向。,作同心且半径为,r,的高斯面,a.r,R,时，,b.,r,R,时，,解：,高斯定理的应用,例2、求,球面半径为,R,带电为,q,均匀带电球体的场强分布。,电荷体密度为,E,O,r,R,R,均匀带电球体的电场分布,E,r,关系曲线,高斯定理的应用,E,E,电场分布也应有面对称性,方向沿法向。,解：,例3 求无限大均匀带电平面的电场分布,已知电荷 面密度为,作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为,S，两底面到带电平面距离相同。,E,S,E,圆柱形高斯面内电荷,由高斯定理得,高斯定理的应用,电场强度方向离开平面,电场强度方向指向平面,结果表明,：无限大均匀带电平面的电场为均匀电场电场强度的方向垂直于带电平面。,两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场,设面电荷密度分别为,1,=+,和,2,=-,该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出，,然后再用叠加原理,求两个带电平面产生的总场强。,由图可知，在,A,区和,B,区场强均为零。,C,区场强的方向从带正电的平板指向带负电的平板。,场强大小为一个带电平板产生的场强的两倍。,例4、求,电荷线密度为,的,无限长均匀带电直线的场强分布,解：以带电直导线为轴，作一个通过,P,点，高为,h,的圆筒形封闭面为高斯面,S,。,S,其中上、下底面的电场强度方向与面平行，电通量为零。所以式中后两项为零。,此闭合面包含的电荷总量,其方向沿求场点到直导线的垂线方向。正负由电荷的符号决定。,例5.无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿轴线方向单位长度带电量为,。,r,l,作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。,高为,l,半径为,r,（1）当,r,R,时，,均匀带电圆柱面的电场分布,r,0,E,R,E,r,关系曲线,高斯定理的应用,高斯简介,高斯（Carl Friedrich Gauss 17771855）,德国数学家、天文学家和物理学家。高斯在数学上的建树颇丰，有“数学王子”美称。,高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：,(1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。,(2)光学：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。,(3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。,(4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。,(5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。,小 结,电场强度通量 高斯定理,电场线,电场强度通量,高斯定律,-,揭示静电场为有源场,高斯定律的应用,适用条件,:,具有高度对称性的电场,解题关键,:,选取合适的高斯面,作业,习题册:19-21,