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休息,结束,第六章 样本及抽样分布,本章转入课程的第二部分,数理统计,数理统计的特点是应用面广，分支较多。社会的发展不断向统计提出新的问题。,需要强调说明一点：,统计方法具有,“,部分推断整体,”,的特征 。,因为我们是从一小部分,样本,观察值去推断该全体对象（,总体,）情况，即由部分推断全体。 这里使用的推理方法是,“,归纳推理,”,。,6.1,随机样本,1.,总体与个体,一,个统计问题总有它明确的研究对象。,研究对象的全体称为,总体,(,母体,),，,总体中每个成员称为,个体,。,在数理统计中，总体这个概念的,要旨,是：,总体就是一个概率分布。,-500,0,500,1000,1500,2000,0,5,10,15,20,25,容量为,n,的样本（也称为,子样,）,可以看作,n,维随机变量：,(,X,1, X,2, , X,n,),但是，一旦取定一组样本，得到的是,n,个具体的数,(,x,1, x,2, ,x,n,),，,称为样本的一次观察值，简称,样本观察值,。,最常用的一种抽样方法叫作“,简单随机抽样,”，它要求抽取的样本满足下面两点,:,1.,代表性,：,X,1, X,2, , X,n,中每一个与所考察的总体有相同的分布。,2.,独立性,：,X,1, X,2, , X,n,是相互独立的随机变量。,由简单随机抽样得到的样本,(,子样）称为,简单随机样本（子样）,。,用,（,X,1, X,2, , X,n,）,表示。,简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到,（,X,1, X,2, , X,n,）,是取自某总体的样本时，就指,简单随机样本,。,3.,总体、样本、样本值的关系,总体（理论分布）,样本,样本值,6.2,抽样分布,1.,统计量及其抽样分布,这种,不含任何未知参数的样本的函数称为,统计量,。它是完全由样本决定的量。统计量的分布称为,抽样分布,。,2.,样本均值及其抽样分布,样本均值,反映了总体均值的信息,定理,:,设 是来自某总体,X,的样本,为样本均值。,若总体分布为,N( ,2,),则 的精确分布为,N(, ,2,/n ),；,若总体分布未知或不是正态分布，则 的渐近分布为,N(, ,2,/n ),；,样本方差与样本标准差,它反映了总体方差,的信息,样本方差,样本标准差,定理,设总体,X,有,EX=,DX=,2,，,X,1,X,2, ,X,n,是来自总体,X,的样本，则：,样本,k,阶原点矩,它反映了总体,k,阶矩,的信息,样本,k,阶中心矩,k,=1,2,它反映了总体,k,阶,中心矩的信息,统计量也是随机变量,，统计量的分布称为统计量的“,抽样分布,”,.,抽样分布,精确抽样分布,（小样本问题中使用）,渐近分布,（大样本问题中使用,),三大抽样分布,分布,1,、,定义,:,设 相互独立,都服从正态,分布,N(0,1),则称随机变量：,所服从的分布为自由度为,n,的 分布,.,记为：,分布的密度函数为：,.,其中伽玛函数 定义为,1.,设 相互独立,都服从分布,则,2.,设 且,X,1,X,2,相互,独立，则,分布的性质：,若,则,EX,=,n,DX,=,2n,由中心极限定理可得，若,，,则当,n,充分大时，,的分布近似正态分布,N,(0,1).,2,、,t,分布,设,X,N,(0,1) ,Y,且,X,与,Y,相互独立，则称变量,所服从的分布为,自由度为,n,的,t,分布,。,记为：,T,t,(,n,).,T,的密度函数为：,具有自由度为,n,的,t,分布的随机变量,T,的数学期望和方差为,:,E ( T ) = 0 ; D ( T ) = n / (n-2) ,对,n 2,t,分布的密度函数关于,x,=0,对称，且,当,n,充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。,不难看到，当,n,充分大时，,t,分布近似,N,(0,1),分布。 但对于较小的,n,，,t,分布与,N,(0,1),分布相差很大。,3,、,F,分布,设,X,与,Y,相互独立，则称统计量,服从,自由度为,n,1,及,n,2,的,F,分布,，,n,1,称为第一自由度，,n,2,称为第二自由度，记作 ：,F,F,(,n,1,n,2,) .,由,定义可见，,F,(,n,2,n,1,),若,X,F,(,n,1,n,2,),，,X,的概率密度为,X,的数学期望为,:,若,n,2,2,即它的数学期望并不依赖于第一自由度,n,1.,9.20,x,y,一般地，,令：,则,x,y,=0.1605,四、几个重要的抽样分布定理,定理,1,(,样本均值的分布,),设,X,1,X,2, ,X,n,是取自正态总体,的样本，则有：,n,取不同值时样本均值 的分布,定理,2,(,样本方差的分布,),设,X,1,X,2, ,X,n,是取自正态总体,的样本,分别为样本均值和样本方差,则有：,比较：,n,取不同值时 的分布,定理,3,设,X,1,X,2,X,n,是取自正态总体,的样本,分别为样本均值和样本方差,则有：,证明：,独立,定理,4,(,两总体样本均值差的分布,),分别是这两个样本的,且,X,与,Y,独立,X,1,X,2,是取自,X,的样本,取自,Y,的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,则有：,Y,1,Y,2,是,样本,其中,证明：,定理,5,(,两总体样本方差比的分布,),分别是这两个样本的,且,X,与,Y,独立,X,1,X,2,是取自,X,的样本,取自,Y,的样本,分别是它们的样本方差,均值，,则有：,Y,1,Y,2,是,样本,证明：,独立,
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