单位圆与三角函数线

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单位圆与三角函数线,初中锐角三角函数是如何定义的？,O,M,P,sin,=,cos,=,tan,=,当OP=1时，,sin,=MP,cos,=OM,复习引入,设P（x,y)是,终边上任一点,线段0P的长度为 r,复习：任意角三角函数的定义,比值叫做的正弦，,记作，即,比值叫做的余弦，,记作，即,比值叫做的正切，,记作，即,x,O,P(x,y),y,.,角,的终边,1,.设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角的三角函数是怎样定义的？,2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？,一全正，二正弦，三正切，四余弦.,3.公式 ，().其数学意义如何？,终边相同的角的同名三角函数值相等.,4.,角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.,可以用何种几何元素表示任意角三角函数值？,由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用,比值,来表示的，或者说是用,数,来表示的，今天我们再来学习,正弦、余弦、正切函数,的另一种,表示方法,几何表示法,新课讲授,一、单位圆：,1、,定义：,一般地，我们把半径为,1,的圆称为,单位圆,。,o,y,x,P,M,N,2、,单位圆与x轴的交点：,单位圆与y轴的交点：,（1，0）和（-1，0）,（0，1）和（0，-1）,3、,正射影：,过P作PM垂直X轴于点M，,PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别,是点P在X轴、Y轴上的,正射影,A,T,正弦线和余弦线,问题1：,如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ，都是正数，你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？,P（x，y）,O,x,y,M,问题2：,若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ，都是负数，此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？,P（x，y）,O,x,y,M,正弦线和余弦线,正切线,A,T,问题1：,如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,P,O,x,y,M,A,T,问题2：,若角为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,P,O,x,y,M,正切线,A,T,A,T,P,O,x,y,M,思考：,若角为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,思考：,若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,P,O,x,y,M,A,T,A,T,思考：,根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？,过点A（1，0）作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线相交于点T，则,AT=tan.,A,T,O,x,y,P,A,T,O,x,y,P,我们称,有向线段,OM为角,的,余弦线.,根据实际需要，我们规定：,OM与X轴,同向,时，方向为,正向,，且有,正值,X；,OM与X轴,反向,时，方向为,负向,，且有,负值,X.,有向线段,：,带有方向的线段.如:有向线段,OM,始点为O点，终点为M点，方向为：由O点指向M点,这样，对任意角,都有：,我们把向量 分别叫做,的,余弦线、正弦线和正切线,.,x,y,o,x,y,o,x,y,o,x,y,o,的终边,的终边,的终边,的终边,T,P,M,P,M,P,M,P,M,T,A,A,T,A,T,A,(),(),(),(),例1,.,作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线,（,1,）；（,2,）,例,2,.作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：,（1）（2）（3）,例题,例2,.比较三角函数值的大小：,例,3,.比较三角函数值的大小：,例,4,.比较大小：,(1)sin1和sin1.5;(2)cos1和cos1.5;,(3)tan2和tan3.,解：由三角函数线得,sin1cos1.5,探究：,当0/2时，总有,sintan.,S,POA,S,扇形AOP,S,AOT,MPOA/2,OA OA/2,OA AT/2,MPAT,sintan,例,5,：设 为锐角，试证:,1.,P,O,x,y,M,证明：,如图示,：,=,=,为锐角,例,6,.利用单位圆中的三角函数线,若 ，试确定sin的取值范围.,cos呢?,课堂小结,1、三角函数线的作法；,2、三角函数线的作用：,利用三角函数线确定角的终边；,利用三角函数线比较三角函数值的大小；,利用三角函数线确定角的集合或范围.,