1.2向量的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面向量,平面向量的概念及线性运算,创设情境兴趣导入,如图所示，用,100N,的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？,动脑思考探索新知,a,A,B,如力、速度、位移等,加,箭头，记作 ,的向量记作,在数学与物理学中，有两种量只有大小，没有方向的量,量做,数量（标量）,，例如质量、时间、温度、面积、密度等,既有大小，又有方向的量叫做,向量（矢量）,，,通常使用有向线段来表示向量线段箭头的指向表示向量的方向，,线段的长度表示向量的大小,平面上带有指向的线段（有向线段）,叫做平面向量，指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大,小如右图所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线,段的终点叫做平面向量的终点以,A,为起点，,B,为终点,也可以使用小写英文字母，印,刷用黑体表示，记作,a,；手写时应在字母上面,我们经常用箭头来表示方向，带有方向的线段叫做,有向线段,平面内的有向线段表示的向量称为,平面向量,动脑思考探索新知,a,A,B,向量的大小叫做向量的,模,向量,a,的模依次记作,模为零的向量叫做,零向量,记作,0,，,零向量的方向是不确定的,模为,1,的向量叫做,单位向量,如力、速度、位移等,在数学与物理学中，有两种量只有大小，没有方向的量,做,数量（标量）,，例如质量、时间、温度、面积、密度等,既有大小，又有方向的量叫做,向量（矢量）,，,例,1,一架飞机从,A,处向正南方向飞行,200km,，另一架飞机从,A,处朝北偏东,45,方向飞行,200km,，两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移,解,位移是向量虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不,同，所以两架飞机的位移不相同两架飞机位移的有向线段表示分别,为图中的有向线段,a,与,b,a,b,A,东,南,100km.,巩固知识典型例题,想一想,巩固知识典型例题,K,K,图,7,A,B,C,D,E,F,H,G,M,N,Q,P,L,Z,说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量,(,小方格边长为,1),动脑思考探索新知,K,K,图,74,A,B,C,D,E,F,H,G,M,N,Q,P,L,Z,观察图,74,中的向量,与,，所在的直线平行，两个向量的,与,所在的直线平行，两个向量的方向相反,方向相同；向量,方向相同或相反的两个非零向量叫做互相,平行的向量,向量,a,与向量,b,平行记作,a,/,b,规定：,零向量与任何一个向量平行,由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做,共线向量,动脑思考探索新知,K,TK,图,74,A,B,C,D,E,F,H,G,M,N,Q,P,L,Z,方向相同或相反的两个非零向量叫做互相,平行的向量,向量,a,与向量,b,平行记作,a,/,b,规定：,零向量与任何一个向量平行,由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做,共线向量,想一想,下图中，哪些向量是共线向量？,动脑思考探索新知,K,K,图,74,A,B,C,D,E,F,H,G,M,N,Q,P,L,Z,图,74,中的平行向量,与,，方向相同，模相等；平行,与,，,方向相反，模相等,向量,向量只有大小与方向两个要素当向量,a,与向量,b,的模相等并且方向相同时，称向量,a,与向量,b,相等,，记作,a,=,b,与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的负向量，记作,a,规定：,零向量的负向量仍为零向量,例,2,在平行四边形,ABCD,中（图,7,5,），,O,为对角线交点,巩固知识典型例题,A,D,C,B,图,7,5,O,（,1,）找出与向量,相等的向量；,（,2,）找出向量,的负向量；,（,3,）找出与向量,平行的向量,要结合平行四边形的性质进行分析两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反,例,2,在平行四边形,ABCD,中（图,7,4,），,O,为对角线交点,巩固知识典型例题,A,D,C,B,图,7,4,O,（,1,）找出与向量,相等的向量；,（,2,）找出向量,的负向量；,（,3,）找出与向量,平行的向量,解,由平行四边形的性质，得,（,1,）,（,2,）,（,3,）,运用知识强化练习,1,如图，,中，,D,、,E,、,F,分别是三边的中点，试写出,（,1,）与,相等的向量；,（,2,）与,共线的向量,F,A,D,B,E,C,第,1,题图,E,F,A,B,C,D,O,第,2,题图,2,如图，,O,点是正六边形,ABCDEF,的中心，试写出,（,1,）与,相等的向量；,（,2,）,的负向量；,共线的向量,（,3,）与,创设情境兴趣导入,王涛同学从家中（,A,处）出发，向正南方向行走,500,m,到,达超市（,B,处），买了文具后，又沿着北偏东,60,角方向行,走,200 m,到达学校（,C,处）（如,总效果是从家（,A,处）到达了学,A,C,500,m,200,m,位移,叫做位移,与位移,的,和，,记作,图）王涛同学这两次位移的,校（,C,处）,动脑思考探索新知,A,C,B,a,b,a,+,b,a,b,一般地，设向量,a,与向量,b,不共线，在平面上任取一点,A,叫做向量,a,与向量,b,的,和,，,则向量,依次作,记作,a,b,，即,（,7,1,）,求向量的和的运算叫做,向量的加法,上述求向量的和的方法,叫做向量加法的,三角形法则,动脑思考探索新知,（,1,）,a,b,与,b,a,相等吗？请画出图来说明,（,2,）如果向量,a,和向量,b,共线，如何画出它们的和向量？,想一想,动脑思考探索新知,A,D,C,B,如图所示，,ABCD,为平行四边形，由于,根据三角形法则得,这说明，在平行四边形,ABCD,中，,所表示的向量就是,与,的和这种求和方法叫做向量加法的,平行四边形法则,平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法,具有以下的性质：,(1),a,0,=,0,a,=,a,；,a,（,a,）,=,0,；,(2),a,b,=,b,a,；,(3),（,a,b,）,c,=,a,（,b,c,）,巩固知识典型例题,例,3,一艘船以,12 km/h,的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流,速度为,5 km/h,，求该船的实际航行速度,A,B,D,C,速度，由向量加法的平行四边形法则，,是船的实际航行速度，显然,解,如图所示，,表示船速，,为水流,=13,利用计算器求得,即船的实际航行速度大小是,13,km/h,，其方向与河岸线的夹角约,巩固知识典型例题,例,4,用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为,k,，两条,，求物体受到沿两条绳子的方向的,拉力,与,的大小,绳子的方向与垂线的夹角为,f,1,f,2,k,解,利用平行四边形法则，可以得到,所以,动脑思考探索新知,想一想,根据例题,4,的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂,成什么角度时，双臂受力最小？,运用知识强化练习,计算：,动脑思考探索新知,与数的运算相类似，可以将向量,a,与向量,b,的负向量的和定义,为向量,a,与向量,b,的,差,即,a,b,=,a,(,b,),即,（,7,2,）,观察图可以得到：起点相同的,个向量,，,其起点是减向量,b,的终点，,两个向量,a,、,b,，,其差,a,b,仍然是一,终点是被减向量,a,的终点,a,A,a,b,B,b,O,设,a,，,b,，则,a,巩固知识典型例题,例,5,已知如图所示向量,a,、,b,，请画出向量,a,b,B,b,O,A,b,a,解,如图所示，以平面上任一点,O,=,b,，连接,BA,，,=,a,，,为起点，作,为所求，即,则向量,=,a,b,运用知识强化练习,计算：,创设情境兴趣导入,a,a,a,a,O,A,B,C,3,a,是一个向量，其方向与,a,的方向相同,其模是,a,的模的,3,倍，即,|3,a,|=3|,a,|,观察下图可以看出向量 与向量,a,共线，并且,a,动脑思考探索新知,一般地，实数,与向量,a,的积是一个向量，记作,a,，它的模为,（,7,3,）,（,7,4,）,由上面定义可以得到，对于非零向量,a,、,b,，当 时，有,若,0,，则当,时,a,的方向与,a,的方向相同，当,时，,a,的方向与,a,的方向相反,动脑思考探索新知,一般地，有,0,a,=,0,0,=,0,数与向量的乘法运算叫做,向量的数乘运算,，容易验证，对于,，向量数乘运算满足如下的法则：,任意向量,a,b,及任意实数,向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的,做一做,请画出图形来，分别验证这些法则,巩固知识典型例题,例,6,在平行四边形,ABCD,中，,O,为两对角线交点如图，,a,，,b,，试用,a,b,表示向量、,解,a,b,，,b,a,，,因为,O,分别为,AC,，,BD,的中点，所以,（,a,b,）,a,b,，,（,b,a,）,a,b,，,a,b,和,a,b,都叫做向量,a,，,b,的,线性组合,，或者说，,可以用向量,a,，,b,线性表示,巩固知识典型例题,一般地，,a,b,叫做,a,b,的一个线性组合（其中,均为实数），如果,l,a,b,，则称,l,可以用,a,，,b,线性表示,向量的加法、减法、数乘运算都叫做,向量的线性运算,运用知识强化练习,计算：,（,1,）,3(,a,2,b,)2(2,a,b,),；,（,2,）,3,a,2(3,a,4,b,),3(,a,b,),（,1,）,a,8,b,；,（,2,）,5,b,当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）,向量的大小叫做向量的模向量,a,的模依次记作，,向量,a,与向量,b,的模相等并且方向相同时，称向量,a,与向量,b,相等，记作,a,=,b,向量、向量的模、向量相等是如何定义的？,自我反思目标检测,学习行为,学习效果,学习方法,自我反思目标检测,作 业,读书部分：阅读教材相关章节,实践调查：试着用向量的观点解释,书面作业：教材习题,.1,组（必做）,生活中的一些问题,教材习题,.1,组（选做）,继续探索活动探究,