1.1数的概念的扩展 (2)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数系的扩充和复数的概念,数,的,发展过程,(,经历,):,自然数,计数的需要,(,正整数和零,),分数,表示相反意义的量,解方程,x,+3=1,负数,测量、分配中的等分,解方程,3,x,=5,(,分数集,),有理数集,循环小数集,无理数,度量,解方程,x,2,=2,实数集,循环小数,不循环小数,解方程,x,2,=-1,一、数系的扩充,?,创设情景，探究问题,N,Z,Q,R,关于无理数的发现,古希腊的,毕达哥拉斯学派,认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条,.,有一天,这个学派中的一个成员,希伯斯,突然发现,边长为,1,的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示,.,但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传,.,但希伯斯却将这一秘密透露了出去,.,毕达哥拉斯大怒,要将他处死,.,希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命,.,希伯斯发现的这类数,被称为无理数,.,无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献,.,C,A,1,D,B,1,A,B,C,D,1,1,1,1,E,F,BD,2,=2,古老,的问题,:“,正方形的对角线是个奇怪的数”,BD =,？,合情推理，类比扩充,我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？,思考？,引入一个新数：,规定,一元二次方程 在实数集范围内的解是？,引入新数，完善数系,名言欣赏 虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物莱布尼茨,数系中发现一颗新星,虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家,莱布尼茨,（,16641716,）在,1702,年说：“,虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物,”。瑞士数学大师,欧拉,（,17071783,）说；“,一切形如的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是 什么都不是，也不比 什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻,。”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。,法国数学家,达朗贝尔,（,17171783,）在,1747,年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（,a,、,b,都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号,i,，而使用,=,一,1,）。法国数学家棣莫佛（,16671754,）在,1730,年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理。欧拉在,1748,年发现了有名的关系式，并且是他在,微分公式,（,1777,年）一文中第一次用,i,来表示一,1,的平方根，首创了用符号,i,作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔（,17451818,）在,1779,年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。,二、复数的概念,复数有关概念,1,、,定义,:,形如,a+bi,（,aR,，,bR,）的数叫,复数,其中,i,叫,虚数单位,。,注意,:,复数通常用字母,z,表示，即复数,a+bi,（,aR,，,bR,),可记作,:,z=,a+bi,（,aR,，,bR,），把这一表示形式叫做,复数的代数形式,。,复数,z=,a+bi,(,aR,，,bR,),把实数,a,，,b,叫做,复数的,实部,和,虚部,。,全体复数所组成的集合叫,复数集,，记作,C,。,即时训练，巩固新知,i,5i+4,1,、请指出下列复数的实部与虚部。,0,特别的，当,a=,0,且,b=,0,时，,z=0,当,b=,0,时，,z,为,实数,当,b,0,时，,z,为,虚数,当,a=,0,且,b,0,时，,z,为,纯虚数,对于复数,z=,a+bi,（,aR,，,bR,）,非纯虚数的虚数：,a,0,b,0,复数集,虚数集,实数集,纯虚数集,2,、复数,z=,a+bi,复数的分类,3.,复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系,做一个练习吧,例,1:,当,m,为何实数时，复数,是（,1,）实数 （,2,）虚数 （,3,）纯虚数,典例讲解，变式拓展,复数 当实数,m=_,时,z,为纯虚数；当实数,m=,时,z,为零。,-2,1,变式练习,复数相等的定义,根据两个,复数相等,的定义,，,设,a,b,c,d,R,，,两个复数,a,+,bi,和,c,+,di,相等规定为,:,a+bi,=,c+di,规定,：,如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这 两个,复数相等,.,例,2,已知 ，其中,解题思考：,复数相等,转化,求方程组的解的问题,一种重要的数学思想：,转化思想,求,x,与,y?,同样的转化思想我们在哪里还遇见过？,思考？,向量相等,转化,求方程组的解的问题,1,、已知两个复数,x,2,-1+(y+1)i,大于,2,、已知实数,x,与纯虚数,y,满足,2x-1+2i=y,求,x,y,。,挑战习题：,2x+2+(y,2,-1)i,试求实数,x,y,的取值范围,1,、虚数单位,i,的引入，,数系的扩充,；,2.,复数有关概念：,复数的代数形式,:,复数的实部、虚部,复数相等,复数的分类,课堂小结,自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊,人用小石卵记畜群的头数或部落的人数,。,英文,calculate,（,计算）一词是从希腊文,calculus,（,石卵）演变来的。中国古藉易系辞中说：上,古结绳而治，后世圣人易之以书契。,直至,1889,年，皮亚诺才建立自然数序数,理论。,自然数,返回,零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空,位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命数法中的零（,zero,）,来自印度的（,sunya,）,字，其原意也是空或空白。,中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进,了负整数的引入。减法运算可看作求解方程,a+x=b,，,如果,a,，,b,是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。,整数,返回,分 数,原始的分数概念来源于对量的分割。如说文,八部对,“,分,”,的解释：,“,分，别也。从八从刀，刀以分别物也。,”,但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其,“,合分术,”,有云：,“,实如法而一。不满法者，以法命之。,”,这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。,古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。,返回,为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要,引进无理数。约在公元前,530,，毕达哥拉斯学派已知道边长为,1,的正方形的对角线的长度（即,）不能是有理数。,15,世纪达芬奇（,Leonardo,da,Vinci,1452-1519,）,把它们称为是,“,无理的数,”,（,irrational number,），,开普勒（,J.,Kepler,1571-1630,）,称它们是,“,不可名状,”,的数。,法国数学家柯西（,A.Cauchy,1789-1875）,给出了回答：无理数是有理数序列的极限。,由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用,“,无限不循环小数,”,来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。,无理数,返回,实数系的逻辑基础直到,19,世纪,70,年代才得以奠定。从,19,世纪,20,年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学,家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯（,1859,年,开始）、梅雷（,1869,）、戴德金（,1872,）与康托尔（,1872,）作出了杰出的贡献。,实数,返回,复数,从,16,世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开,平方的问题。卡尔达诺在大法（,1545,）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代,数运算的几何表示，是,18,世纪末到,19,世纪,30,年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。,哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于,1843,年提出了四元数的概念，其后不久，凯莱又,用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为超复数，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。,返回,作业,课本,P,102,A,组,1,、,2,谢谢大家，再见！,