电磁场中的基本方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 电磁场基本方程,第二章 电磁场基本方程,2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量,2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律,2.3 麦克斯韦方程组,2.4 电磁场的边界条件,2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量,2.6 唯一性定理,2 .1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量,2 .1 .1 库仑定律和电场强度,图 2-1 两点电荷间的作用力,式中,K,是比例常数,r,是两点电荷间的距离, 是从,q,1,指向,q,2,的单位矢量。若,q,1,和,q,2,同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。,比例常数K的数值与力 , 电荷及距离所用的单位有关。 本书全部采用1960年国际计量大会通过的国际单位制(SI制), 基本单位是米(m) , 千克(kg) , 秒(s)和安培(A)。 电磁学中其他单位都可由之导出, 今已列在附录C中, 以供查用。在SI制中, 库仑定律表达为,式中,q,1,和,q,2,的单位是库仑(C),r,的单位是米(m),0,是真空的介电常数:,设某点试验电荷,q,所受到的电场作用力为F, 则该点的电场强度为,由库仑定律知, 在离点电荷,q,距离为,r,处的电场强度为,(2-4),2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度,除电场强度,E,外, 描述电场的另一个基本量是电通量密度D, 又称为电位移矢量。 在简单媒质中, 电通量密度由下式定义:,是媒质的介电常数, 在真空中,=,0,。 这样, 对真空中的点电荷q, 由式(2-4)知,电通量为,此通量仅取决于点电荷量,q,而与所取球面的半径无关。 根据立体角概念不难证明, 当所取封闭面非球面时, 穿过它的电通量将与穿过一个球面的相同,仍为,q,。如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量,这就是高斯定理的积分形式(1839年由德国K .F .Gauss导出), 即穿过任一封闭面的电通量, 等于此面所包围的自由电荷总电量。 对于简单的电荷分布, 可方便地利用此关系来求出D。,若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度,v,分布的, 则所包围的总电量为,上式对不同的,V,都应成立, 因此两边被积函数必定相等, 于是有,2 .1 .3 比奥-萨伐定律, 磁通量密度,图 2-2 两个载流回路间的作用力,式中,r,是电流元,I,d,l,至,I,d,l,的距离, 是由d,l,指向d,l,的单位矢量,0,是真空的磁导率:,矢量,B,可看作是电流回路,l,作用于单位电流元(,I,d,l,=1 Am)的磁场力, 它是表征电流回路,l,在其周围建立的磁场特性的一个物理量, 称为磁通量密度或磁感应强度。它的单位是,毕奥-萨伐(J .B .Biot-F .Savart, 法)定律, 于1820年独立地基于磁针实验提出。,磁通量密度为,B,的磁场对电流元,I,d,l,的作用力为,或用运动速度为,v,的电荷,Q,表示,I,d,l,=,JA,d,l,=,v,A,d,lv,=,Qv, 其中,A,为细导线截面积, 得,对于点电荷,q, 上式变成,通常将上式作为,B,的定义公式。点电荷,q,在静电场中所受的电场力为,qE, 因此, 当点电荷,q,以速度,v,在静止电荷和电流附近时, 它所受的总力为,例 2 .1,参看图2-3, 长2l的直导线上流过电流,I,。 求真空中,P,点的磁通量密度。,图 2-3 载流直导线,解, 采用柱坐标, 电流,I,d,z,到,P,点的距离矢量是,对无限长直导线,l, 有,2 .1 .4 安培环路定律, 磁场强度,对于无限长的载流直导线, 若以,为半径绕其一周积分,B, 可得,在简单媒质中,H,由下式定义:,H,称为磁场强度,是媒质的磁导率。在真空中,=,0, 于是有,这一关系式最先由安培基于实验在1823年提出, 故称之为安培环路定律。它表明, 磁场强度,H,沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流,I,。这里的,I,应理解为传导电流的代数和。利用此定律可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。,因为,S,面是任意取的, 所以必有,2 .1 .5 两个补充的基本方程,在物理学中我们已知, 在静电场中,E,沿任何闭合路径的线积分恒为零:,利用斯托克斯定理可将左端化为,E,的面积分, 从而得,这是静电场的另一基本方程, 说明静电场是无旋场即保守场。静电场的保守性质符合能量守恒定律。这样, 它和重力场性质相似。 物体在重力场中有一定的位能, 同样地, 电荷在静电场中也具有一定的电位能。 从而可引入电位函数,:,静电场既然是无旋场, 则必然是有散场, 它的通量源就是电荷。电力线起止于正负电荷。静磁场的特性则正好相反。因为在自然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力线总是闭合的。这样, 闭合的磁力线穿进封闭面多少条, 也必然要穿出同样多的条数, 结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零, 即,将左端化为,B,的体积分知,2 .2 法拉第电磁感应定律和全电流定律,2 .2 .1 法拉第电磁感应定律,静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷(恒定电流)。 它们是相互独立的, 二者的基本方程之间并无联系。 但是随时间变化的电场和磁场是相互关联的。这首先由英国科学家法拉第在实验中观察到。 他发现, 导线回路所交链的磁通量随时间改变时, 回路中将感应一电动势, 而且感应电动势正比于磁通的时间变化率。 楞次(H .E .Lenz, 俄)定律指出了感应电动势的极性, 即它在回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻碍磁通的变化。这两个结果的结合就是法拉第电磁感应定律, 其数学表达式为,式(2-26)可写成,(2-26),右边第一项是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势; 第二项是导体回路以速度,v,对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势.,应用斯托克斯定理, 上式左端的线积分可化为面积分。同时, 如果回路是静止的, 则穿过回路的磁通量的改变只有由于,B,随时间变化所引起的项。 因而得,因为,S,是任意的, 从而有,这是法拉第电磁感应定律的微分形式。,其意义是, 随时间变化的磁场将激发电场,。这导致极重要的应用。我们称该电场为感应电场, 以区别于由电荷产生的库仑电场。库仑电场是无旋场即保守场; 而感应电场是旋涡场。其旋涡源就是磁通的变化。,2 .2 .2 位移电流和全电流定律,微分形式基本方程如下:,在任何时刻电荷守恒定律都应成立。法拉第已在1843年用实验证实了这一定律。 其数学表达式就是电流连续性方程:,J,是电流密度即电流的体密度, 它的方向就是它所在点上正电荷流动的方向, 其大小就是在垂直于该方向的单位面积上, 每单位时间内通过的电荷量, 单位为A/m,2,。因此, 若体积中各处都有电荷流动, 则通过某封闭面,S,的总电流为 。 它是每单位时间流出,S,面的电荷量, 应等于,S,面内每单位时间所减少的电荷量-d,Q,/d,t,。,(2-30),把式(2-30)两端用体积分表示, 对静止体积,V,有,上式对任意选择的,V,都成立, 故有,这是微分形式的电流连续性方程。,麦克斯韦首先注意到上述微分形式的基本方程不符合电流,连续性方程， 因为,对于静态场是成立的，但对于时变场则不成立。故应用于时变场时需加以修正。,的量纲是(库仑/米,2,)/秒=安/米,2, 即具有电流密度的量纲, 故称之为位移电流密度(displacement current density)J,d, 即,对左端应用斯托克斯定理, 便得到其积分形式:,它说明: 磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。,重大意义：除传导电流外，时变电场也将激发磁场安培-麦克斯韦全电流定律,2 .2 .3 全电流连续性原理,对任意封闭面,S,有,即,因为,穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性原理。将它应用于只有传导电流的回路中, 得知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号, 流入取负号)。这就是基尔霍夫(G .R .Kirchhoff, 德)电流定律:,I,=0。,例 2 .2,设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容器的电流,I,与,U,的关系。,图 2-4 平板电容器,解,设平板尺寸远大于其间距, 则板间电场可视为均匀, 即,E,=,U/d, 从而得,式中,C,=,A/d,为平板电容器的电容。,由全电流连续性原理可知，传导电流应等于二平板间的位移电流。,2 .3 麦克斯韦方程组,2 .3 .1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式,图 2-5 麦克斯韦,表2-1 麦克斯韦方程组及电流连续性方程,这四个方程的物理意义可简述如下: ;,(a) 时变磁场将激发电场; ;,(b) 电流和时变电场都会激发磁场; ;,(c) 穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由电荷电量; ;,(d) 穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。,麦氏方程组中的四个方程并不都是独立的。 表2-1中两个散度方程(,c,) , (,d,)可由两个旋度方程(,a,) , (,b,)导出。例如, 对式(b)取散度, 得,将连续性方程(e)代入上式, 有,则,2 .3 .2 本构关系和波动方程,对于简单媒质, 本构关系是(接表 2-1 的序号),对于真空(或空气),=,0,=,0,=0。,=0的媒质称为理想介质,=的导体称为理想导体,介于二者之间的媒质统称为导电媒质。,简单媒质，指均匀、线性、各向同性的媒质。,若媒质参数与位置无关, 称为均匀(homogeneous)媒质; ;,若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ;,若媒质参数与场强方向无关, 称为各向同性(isotropic)媒质; ;,若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色散(dispersive) 媒质。,利用式(,f,) , (,g,) , (,h,)关系后, 表2-1中的式(a)(d)化为,以上四个方程称为麦克斯韦方程组得限定形式，因为它仅适于特定的媒质。若给定场源，则可解。以下讨论最简单的情况。即无源区域且媒质为理想的简单媒质。,即,同样：,这两个方程是E和H的齐次矢量波动方程，其解是一种电磁波动,为研究简单媒质中的有源区域时,J,0,v,0, 由类似的推导得,该二式,称为,E,和,H,的非齐次矢量波动方程,。 其中场强与场源的关系相当复杂, 因此通常都不直接求解这两个方程, 而是引入下述位函数间接地求解,E,和,H,。,2 .3 .3 电磁场的位函数,由表2-1中的麦氏方程组式(,d,)知, ,B,=0 。由于 ( ,A,)=0, 因而可引入下述矢量位函数,A,(简称矢位或磁矢位):,即,而由表2-1中的麦氏方程组式(,a,)知,由于 ,=0, 因而可引入标量位函数,(简称标位或电标位)如下:,这里,前加负号是为了使 时化为静电场的,E,=- ,。,因 ,A,= ( ,A,)- ,2,A, 上式可改写为,(2-47),为使方程(2-47)具有最简单的形式, 我们令,此式称为洛仑兹规范(Lorentz gauge)。,这两式为,磁矢位和电标位的非齐次波动方程,。在洛仑兹规范下，磁矢位仅由电流分布决定，而电标位仅由电荷分布决定。,例2 .3,试用麦克斯韦方程组导出图2-6所示的RLC串联电路的电压方程(电路全长远小于波长)。,图 2-6 RLC串联电路,解,沿导线回路,l,作电场,E,的闭合路径积分, 根据表2-1中的麦氏方程式(,a,)有,上式左端就是沿回路的电压降, 而,是回路所包围的磁通。将回路电压分段表示, 得,设电阻段导体长为,l,1, 截面积为,A, 电导率为, 其中电场为J/, 故,电感,L,定义为,m,/,I,m,是通过电感线圈的全磁通, 得,通过电容,C,的电流已由例2 .2得出:,设外加电场为,E,e, 则有,因为回路中的杂散磁通可略, d,/dt0, 从而得,这就是大家所熟知的基尔霍夫电压定律。对于场源随时间作简谐变化的情形, 设角频率为, 上式可化为,例 2 .4,证明导电媒质内部,v,=0。 ;,解,利用电流连续性方程(2-31), 并考虑到J=,E, 有,在简单媒质中, ,E,=,v,/, 故上式化为,其解为,可见,v,随时间按指数减小。衰减至,v0,的1/e即36.8%的时间 (称为驰豫时间)为,=,/,(s)。对于铜,=5.810,7,S/m,=,0, 得,=1 .510,-19,s。因此, 导体内的电荷极快地衰减, 使得其中的,v,可看作零。,2 .4 电磁场的边界条件,2 .4 .1 一般情况,图 2-7 电磁场边界条件,得到,E,和,H,的切向分量边界条件为,对此回路应用表2-1中的麦氏旋度方程式(,a,) , (,b,),可得,计算穿出小体积元,S,h,表面的,D,B,通量时, 考虑到,S,很小, 其上,D,B,可视为常数, 而,h,为高阶微量, 因此穿出侧壁的通量可忽略, 从而得,式中,s,是分界面上自由电荷的面密度(C/m,2,)。对于理想导体, , 其内部不存在电场(否则它将产生无限大的电流密度,J,=,E,), 其电荷只存在于理想导体表面, 从而形成面电荷,s,。 于是有,表2-2 电磁场的边界条件,上述边界条件的含义可归纳如下: 任何分界面上E的切向分量是连续的; 在分界面上若存在面电流(仅在理想导体表面上存在), H的切向分量不连续, 其差等于面电流密度; 否则, H的切向分量是连续的; 在分界面上有面电荷(在理想导体表面上)时, D的法向分量不连续, 其差等于面电荷密度; 否则, D的法向分量是连续的; 任何分界面上B的法向分量是连续的。,表2-3 两种理想介质间的边界条件,2 .4 .2 两种特殊情况,理想介质是指 ，即无欧姆损耗的简单媒质。在两种理想介质的分界面上不存在面电流和自由电荷，即,J,s,=0, 。,表2-4 理想介质和理想导体间的边界条件,图 2-8 理想导体表面的电磁场,例2.5 同轴线横截面如图2-9（,a,）所示。设通过直流I,内外导体上电流大小西等，方向相反。求各区中的H和H,并验证各分界处的边界条件。,图 2-9 (,a,) 同轴线; (,b,)平板电容器,解,在直流情形下内外导体中电流密度是均匀的,分别为 。,由于H只有,H,分量，由附录A中的式（A-31）知，,（2）,（3）,以上H结果证明表2-1中的麦氏方程组式(,b,)处处成立。下面再验证边界条件:,（4）,例 2 .6,设平板电容器二极板间的电场强度为3 V/m, 板间媒质是云母,r,=7 .4, 求二导体极板上的面电荷密度。,解,参看图2-9(,b,), 把极板看作理想导体, 在,A , B,板表面分别有,2 .5 坡印廷定理和坡印廷矢量,2 .5 .1 坡印廷定理的推导和意义,将上式两端对封闭面S所包围的体积V进行积分, 并利用散度定理后得,式中右端各项被积函数的含义是:,电场能量密度, 单位: (F/m) (V,2,/m,2,)=J/m,3,;,磁场能量密度, 单位: (H/m) (A,2,/m,2,)=J/m,3,;,p,=,EJ,=,E,2,传导电流引起的热损耗功率密度, 单位: (S/m) (V,2,/m,2,)=W/m,3,。,右边第一项是体积V内，每秒电磁场能量的增加量，第二项是体积V内变为焦耳热的功率。根据能量守恒定律，左边的面积分为穿过闭合面S进入体积内的功率。 称为,坡印廷定理。,2 .5 .2 坡印廷矢量,代表单位时间内流出封闭面S的能量, 即流出,S,面的功率。 因此,代表流出,S,面的功率流密度, 单位是W/m,2, 其方向就是功率流的方向, 它与矢量,E,和,H,相垂直, 三者成右手螺旋关系, 如图2-10所示。,S,称为坡印廷矢量。,图 2-10 坡印廷矢量,图2-11 同轴线的功率传输,根据内外导体间的电场线和磁场线分布，各点的,坡印廷矢量的主要方向是纵向的，代表向负载方向传输的功率。但导体的有限电导率使导体表面的电场强度不但有法向分量，还有切向分量。这使坡印廷矢量出现横向分量，代表向导体表面流入的功率。此功率在导体内部转变为热损耗。该过程表明，,传输线所传输的功率其实是通过导体间的电磁场传送的，导体结构只起着引导的作用并且在引导中也带来一定的功率损失。,例 2 .7,一段长直导线,l, 半径为,a, 电导率为,。设沿线通过直流I, 试求其表面处的坡印廷矢量, 并证明坡印廷定理。,图 2-12 直流导线段,解,故表面处坡印廷矢量为,它的方向垂直于导体表面, 指向导体里面。,为证明坡印廷定理, 需将S沿圆柱表面积分:,导体内的热损耗功率为,电路理论中的焦耳定理. 其微分形式为,此式代表场点处各单位体积的热损耗功率。,2 .6 唯 一 性 定 理,对封闭面S所包围的体积V，若S面上的电场E或磁场H的切向分量给定，则体积V内任一点，场方程的解是唯一的。,对于时变场，只要满足边界条件就一定能保证解是唯一的。,设两组解,E,1,H,1,和,E,2,H,2,都是体积V中满足麦氏方程和边界条件的解。设媒质是线性的, 则麦氏方程也是线性的, 因而差场,E,=,E,1,-,E,2, ,H,=,H,1,-,H,2,必定也是麦氏方程的解。对这组差场应用坡印廷定理, 有,因,S,面上,E,或,H,的切向分量已给定, 这就是说,故必有,因而面积分等于零, 则,