阅读与思考集合中元素的个数 (2)

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,阅读材料,集合中元素的个数,例1,学校先举办了一次田径运动会，某班有,8,名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个,班有,12,名同学参赛，两次运动会都参赛的有,3,人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参,赛？,分析：,设,A,为田径运动会参赛的学生的集合，,B,为球类运动会参赛的学生的集合。那么,A,B,就,是两次运动会都参赛的学生的集合。,试分析,AB、A、B、,A,B,中,元素个数的关系.,解：设,A=,田径运动会参赛的学生，,B=,球类运动会参赛的学生，那么，,AB=,两次运动会都参赛的学生，,AB=,参赛的学生。,card（AB）,=card（A）+card（B）card（AB）,=8+123=17。,答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛,。,用图来求解,：,例2.某班学生参加数学课外小组的人数是参加,物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外,小组的人数是5人，至少参加一个课外活动小组,的人数为25人.试求参加数学小组、物理小组的,人数各是多少？,参加数学小组20人，参加物理小组10人.,card（AB）,=card（A）+card（B）card（AB）,即 25=2,x+x-5,x=10,card（AB）,=card（A）+card（B）card（AB）,能否推广？试写出三个集合类似公式.,例3.某校高三学生共249人，毕业考试成绩优秀的,人数及科目如下表;,表中，两科优秀者包括里包括三科全优者，单科,优秀者里也包括两科以上的优秀者。,有人说上面的统计表有误，你认为呢？,由,统计表计算高三年级共有,131+117+152-61-79-62+53=251(人,)，,所以统计表有误.,例,4.在100个学生中，有美术爱好者63人，音乐,爱好者75人（并非每个学生都有爱好），对美术,和音乐都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？,最多63人，最少38人.,问题的提出：,无限集中元素的个数？！,是不是所有的无限集都有相同的个数呢？,1.无限,（1,）初识无限,（2）,在有限集中，如何比较元素个数的多少？,理解无限的关键一一对应,（3）无限集中元素的个数基数,与此相关的一个定义：,若在一个集合与全体正整数集合之间,存在一一对应，则称这个集合是可数的。,（4）几个令人吃惊的例子,全体正整数和全体有理数一样多吗？,全体正整数和全体整数一样多吗？,部分整体？！,（5）问题的提出,是不是所有的无限集都有相同的基数呢？,康托在1973年11月29日给戴德金的信中提出：,11月29日12月7日，康托给无限的理论奠定了基础。他创造了一种适用于无限集的新数体系超限数，以解决无限集的基数比较问题。,实数集（0，1）是不可数的。,无理数集是不可数的（有理数集可数）。,是不是还存在数量上多于实数集的集合呢？,实数集是不可数的,。,实数、一直线上的点、平面上的点,及高维空间的任一部分的点的基数。,若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应，则称这个集合是可数的。,“数学中的无穷无尽，其诱人之处在于,它的最棘手的悖论能够盛开出美丽的,理论之花。”,E.,Kasner,and J.Newman,集合论危机重重：,2.罗素悖论,大多数集合不包含它自身为元素，这样的集我们,称之为“普通的”。有许多集可能包含它自身为元素，,例如集,S,定义如下：“凡是可以用不超过三十个字来,定义的集合是,S,的元素。”可以看到，,S,是包含它自身,为一元素的。这样的集我们称之为“非普通集”。我们,考查“所有普通集组成的集”，称它为,C。,那么,C,本身,是普通集还是非普通集？如果,C,是普通集，由于,C,定义,为包含所有普通集，它包含了它本身作为一个元素。,这样的话，,C,必须是非普通集。这是一个矛盾。因此,C,必须是非普通集，但这时,C,包含了一个非普通集,（即,C,本身）为其元素，这与,C,只包含普通集的定义,相矛盾。因此，无论那一种情形，仅仅是,C,的存在，,就已经使我们陷入矛盾。,罗素的理发师悖论,其他一些悖论,（1）芝诺悖论,1）二分法悖论,2）阿基里斯和乌龟,代数悖论：,数理逻辑诞生,数理逻辑这门学科在第三次数学危机运动的过程中诞生，在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。,现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出一种“通用代数”，其中把一切推理都化归为计算。实际上这正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，这样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此影响不大。,真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在1847年出版了逻辑的数学分析，给出了现代所谓的“布尔代数”的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对象是事物的类，1表示全类，0表示空类；,xy,表示,x,和,y,的共同分子所组成的类，运算是逻辑乘法；,xy,表示,x,和,y,两类所合成的类，运算是逻辑加法。,布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。当,x、y,不是类而是命题，则,x1,表示的是命题,x,为真，,x0,表示命题,x,为假，1,x,表示,x,的否定等等。显然布尔的演算构成一个代数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。,非数值运算的推广,集合运算,语句运算,康托的最大基数悖论、布拉里.福蒂悖论、,罗素悖论，动摇了整个数学的基础。,给,数学提供一个可靠的基础：,1）罗素的类型论,2）策梅罗的公理集合论（,ZFS,系统）,Z,策梅罗,F,弗兰克尔,S,斯科兰姆,希尔伯特：,哥德尔不完全性定理：,数理逻辑的大发展：,证明论；,递归论；,模型论；,公理集合论。,作业：,查阅有关资料,试卷改错,二教不等式解法习题课的例题,