中考数学——数形结合专题

第九讲数形结合思想【中考热点分析 】数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系， 又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙的结合起来，并充分利用这种结合， 探求解决问题的思路， 使问题得以解决的思考方法。几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。【经典考题讲练 】例 1. （ 2015 衢州）如图，已知直线 y3 x 3 分别交 x 轴、 y 轴于点 A、 B， P 是抛物线14yx22x 5 的一个动点，其横坐标为a，过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线2y3x3 于点 Q，则当 PQ=BQ时， a 的值是4例 2.（ 2014?广州）已知平面直角坐标系中两定点A（-1 ，0），B（ 4，0），抛物线（）过点A、 B，顶点为C点P（ m， n）（ n0)与直线x=2,x=3,y=1围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是。3. 如图，抛物线y= 1x2+bx-2与 x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于C点，且A（ -1,0），点M2（m,0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是24/41。4.抛物线 y=ax2+bx+c(a 0) 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，若 ABC是直角三角形，则ac=.5. 如图，半径为 r1 的圆内切于半径为 r2 的圆，切点为 P，过圆心 O1的直线与 O2交于A、B，与 O1交于C、D，已知AC：CD：DB=3：4：2，则r1=r 2二、解答题6. （1）如图，四边形 ABCD中， BAD=120， B= D=90，在 BC、CD上分别找一点 M、 N,使 AMN周长最小时，求 AMN+ANM的度数。（ 2）如图，直线 y= k1x +b 与双曲线 y= k2 交于 A、B 两点，其横坐标分别为 1 和x5，求不等式 k1x k2 +b 的解集。x7. 如图，AC为 O的直径，B 是 O外一点，AB交O于 E 点，过 E 点作O的切线，交 BC于 D点，DE=DC,作 EFAC于 F 点，交 AD于 M点。（ 1）求证： BC是 O 的切线。（ 2） EM=FM.8. （2015?鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C抛物线 y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=且经过 A、 C两点，与 x 轴的另一交点为点B（ 1）直接写出点 B 的坐标；求抛物线解析式（ 2）若点 P 为直线 AC上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC求 PAC的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标（ 3）抛物线上是否存在点 M，过点 M作 MN垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、 M、 N 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【基础重点轮动】选择题1.（ -1 ） -1 +（ -3 ） 0+（ -2 ）2的值为（）2A.-1B.-3C.1D.02.要使分式5有意义，则 x 的取值范围是（）x1A.x1 B.x1 D.x -13.对于函数，下列说法错误的是（）A. 它的图象分布在一、三象限B. 它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当 x 0 时， y 的值随 x 的增大而增大D. 当 x 0 时， y 的值随 x 的增大而减小4.如图， PA、PB是 O的切线，切点是A、B，已知 P=60， OA=3，那么 AOB所对弧的长度为（）。A.6 B.5C.3D.25.抛物线 y=x2+bx+c（ a 0）图像向右平移2个单位再向下平移3 个单位，所得的图像解析2，则 b， c 的值为（）。式为 =x -2x-3A. b=2，c=2B.b=2， c=0C.b=-2， c=-1D.b=-3， c=26.如图， ABC中，CDAB，垂足为D。下列条件中， 不能证明ABC是直角三角形的是 （）A. A+ B=90222B.AB =AC+BCC.D.CD2=AD?BD7. 下列命题是真命题的是（）A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B 有两边和一角对应相等的两个三角形全等C 两条对角线相等的平行四边形是矩形D 两边相等的平行四边形是菱形8. 如图所示，正方形网格中，网格线的交点称为格点。已知A、 B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得 ABC 为等腰三角形，则C 点的个数是（C ）A 6B 7C 8D 9填空题9.如图，直线l1 l2 l3 , 点 A、B、C 分别在在直线l1 、l2 、 l3 上，若 1=70 , 2=50，则 ABC=度。第 9 题图第 10 题图10. 如图某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是 1： 3 ，堤坝高 BC=50m，则迎水坡面 AB的长度是。11. 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20 户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量（度）120140160180200户数23672则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是。12.已知菱形 ABCD的边长是8，点 E 在直线 AD上，若 DE=3，连接 BE与对角线 AC相交于点 M，则 S ABM：S CBM的值为。第 10 讲综合性解答问题【中考热点分析】代数型综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，涉及知识：主要包括方程、函数、不等式等内容。解题策略：用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等。几何型综合题是指以几何知识为主或者以几何变换为主的一类综合题。涉及知识：主要包括几何的定义、公理、定理、几何变换等内容。解题策略：解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的。代数和几何型综合题是指以代数知识与几何知识综合运用的一类综合题。涉及知识：代数与几何的重要知识点和多种数学思想方法。【经典考题讲练】例 1. 如图，已知矩形OABC中， OA2，AB 4，双曲线 yk （ ）与矩形两k0x边 AB、 BC分别交于 E、 F。（1）若E是的中点，求F点的坐标；AB（2）若将 BEF 沿直线 EF 对折， B 点落在 x 轴上的 D 点，作 EG OC，垂足为G，证明，并求的值。EGDDCFkyEABFxOGDC例 1 题图例 2. （2014?十堰）已知抛物线 C1：y=a（ x+1）2 2 的顶点为 A，且经过点 B（ 2， 1）（1）求 A点的坐标和抛物线 C1 的解析式 .（2）如图 1，将抛物线C1 向下平移2 个单位后得到抛物线C2 ，且抛物线C2 与直线 AB 相交于 C， D 两点，求SOAC： S OAD的值 .（3）如图 2，若过 P（ 4， 0）， Q（ 0，2）的直线为l ，点 E 在（ 2）中抛物线C2 对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点 C 和点 E问：是否存在直线m，使直线 l ，m与 x 轴围成的三角形和直线l ， m与 y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由分析：（ 1）由抛物线的顶点式易得顶点A 坐标，把点 B 的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题（2）根据平移法则求出抛物线C2 的解析式，用待定系数法求出直线AB的解析式，再通过解方程组求出抛物线 C2 与直线 AB 的交点 C、 D的坐标，就可以求出S OAC： S OAD的值（3）设直线 m与 y 轴交于点 G，直线 l ， m与 x 轴围成的三角形和直线l ， m与 y 轴围成的三角形形状、 位置随着点 G的变化而变化， 故需对点 G的位置进行讨论， 借助于相似三角形的判定与性质、 三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标，从而求出相应的直线m的解析式例 3. （ 10 分）（ 2015?桂林）如图，四边形 ABCD是O的内接正方形， AB=4，PC、PD是O的两条切线， C、 D为切点（1）如图 1，求O 的半径；（2）如图 1，若点 E 是 BC的中点，连接PE，求 PE的长度；（3）如图 2，若点 M是 BC边上任意一点（不含B、 C），以点M为直角顶点，在BC的上方作 AMN=90，交直线CP于点 N，求证： AM=MN分析：（ 1）利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出O的半径即可；（ 2）利用垂径定理得出 OEBC， OCE=45，进而利用勾股定理得出即可；（ 3）在 AB上截取 BF=BM，利用（ 1）中所求，得出 ECP=135，再利用全等三角形的判定与性质得出即可【解答策略提炼】1、代数综合题是以代数知识及代数变形为主的综合题。主要包括方程、函数、不等式等内容。解题策略：用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等。解代数综合题要注意方程、不等式和函数、统计等知识点之间的横向联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而解决问题。2、几何综合题考查的图形种类多、条件隐晦，在观察方法上要注意从三角形、四边形、圆的定义、性质、判定来观察分析图形，通过寻找、分解、构造基本图形以发现图形特征；在思考方法上分析挖掘题目的隐含条件，注意结合代数知识与几何图形的性质思考，不断的由已知想未知，为解决问题创造条件。【专项达标训练】一、填空题1.如图，在四边形ABCD中， AB=4,BC=7， CD=2， AD=x,则 x 的取值范围是。2.如图，在 ABC中， AB=AC，D 在 AB上， BD=AB，则A 的取值范围是。AAxD4D2B7CBC第 1 题图第 2 题图3.在 Rt ABC中， C=90， AC=3， BC=4.若以 C 点为圆心， r 为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r 的取值范围是。4.如图，矩形 ABCD中， E 为 DC的中点， AD： AB= ： 2，CP： BP=1： 2，连接 EP 并延长，交AB的延长线于点 F，AP、BE相交于点 O下列结论： EP平分 CEB； EBP EFB；ABP ECP； AO?AP=OB2其中正确的序号是 （把你认为正确的序号都填上）5.（ 2015 南通）关于 X 的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1 和 0 之间（不包括 -1 和 0），则 a 的取值范围是。二、解答题6. （ 2014 牡丹江） (2014 年黑龙江牡丹江 ) 如图，在 RtABC中， ACB=90， AC=8，BC=6， CDAB 于点 D点 P 从点 D 出发，沿线段 DC向点 C 运动，点 Q从点 C 出发，沿线段 CA向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C时，两点都停止设运动时间为 t 秒（ 1）求线段 CD的长；（ 2）设 CPQ的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式， 并确定在运动过程中是否存在某一时刻 t ，使得 S： S=9： 100？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由CPQABC（3）当 t 为何值时， CPQ 为等腰三角形？备用图 1备用图 27. （2013?连云港）如图，已知一次函数 y=2x+2 的图像与 y 轴交于点 B，与反比例函数 y=k1/x 的图像的一个交点为 A（1，m），过点 B 作 AB的垂线 BD，与反比例函数 y=k2/x 交于点 D（n,-2 ）.（ 1）求 k1 和 k2 的值；（ 2）若直线 AB、BD分别交 x 轴于点 C、E，试问在 y 轴上是否存在一个点 F，使得 BDF ACE？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由8.(2015温 州 ) 如图， AB是半圆 O的直径， CD AB于点 C，交半 圆于点 E， DF 切半圆于点F. 已知 AEF=135 .（ 1）求证： DFAB；（ 2）若 OC=CE，BF=2 2 ，求 DE的长 .9. （ 2015?海南）如图，二次函数 y=ax2+bx+3 的图象与 x 轴相交于点 A（ 3， 0）、 B（ 1，0），与 y 轴相交于点C，点 G是二次函数图象的顶点，直线GC交 x 轴于点 H（ 3， 0）， AD平行 GC交 y 轴于点 D（1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD是正方形；（3）如图2，点 M（t ， p）是该二次函数图象上的动点，并且点M 在第二象限内，过点的直线 y=kx 交二次函数的图象于另一点N若四边形ADCM的面积为S，请求出S 关于 t 的函数表达式，并写出t 的取值范围；M若 CMN的面积等于，请求出此时中S 的值【基础重点轮动】一选择题1. （ 2013. 山西）解分式方程2+ x + 2 = 3 时，去分母后变形为（）x - 11- xA 2+（ x+2）=3（ x-1 ）B2-x+2=3 （ x-1 ）C2- （ x+2）=3（1- x）D 2- （ x+2）=3（ x-1 ）2.A.2B.C.D.3.下列交通标志是轴对称图形的是（）ABCD4. 如 图，将 ABC 绕 着 点 C 顺 时 针 旋 转 50 后 得 到 A B C 若 A=40 B =110 ， 则 BCA 的 度 数 是 （）第 4 题 图第 7 题图A 110 B 80 C 40 D 30 5. 下 图 是 某 月 的 日 历 表 ， 在 此 日 历 表 上 可 以 用 一 个 矩 形 圈 出 3 3 个 位 置 相 邻 的9 个 数 ( 如 6 ， 7 ， 8 ， l3 ， 14 ， l5 ， 20 ， 21 ， 22) 若 圈 出 的 9 个 数 中 ， 最 大 数 与最 小 数 的 积 为 192 ， 则 这 9 个 数 的 和 为 （） A 32B126C 135D 1446. 下列命题是假命题的是（）A.全等三角形的对应边相等B.两角和一边分别对应相等的两个三角形全等C.对应角相等的两个三角形全等D.相似三角形的面积比等于相似比的平方7.如图，过点Q（ 0,3.5 ）的一次函数与正比例函数y=2x 的图像相交于点P，能表示这个一次函数图像的方程是（）A 3x 2y+3.5 0B 3x 2y 3.5 0C 3x 2y+7 0D 3x+2y 7 08. 现有球迷150 人欲同时租用A、 B、 C 三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中三种型号客车载容量分别为50 人、 30 人、 10 人，要求每辆车必须满载，其中租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有（）A 3 种B 4 种C 5 种D6 种A、 B、 C A 型客车最多二、填空题9. 化简：10.若（ a-1)2+|b-2|=0,则以 a， b 为边长的等腰三角形的周长为。11.如图，在等腰梯形ABCD中， AD BC,BD DC,点 E 是 BC的中点，且 DE AB,则 BCD 的度 数 是。12.如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为a 的正方形之后，剩余部分可剪拼2，则另一边长是。