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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ZPZ,3.2.4立体几何中的向量方法（四）,空间“角度”问题,1.异面直线所成角,l,m,l,m,若两直线 所成的角为,则,复习引入,方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为,其中AB,D,C,L,B,A,2、二面角,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,L,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，,则二面角 的大小 ,2、二面角,若二面角 的大小为 ,则,法向量法,A,B,n,3.线面角,设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所成的角为 ，向量 与n所成的角为 ，,则,n,而利用 可求 ，,从而再求出,3.线面角,l,设直线,l,的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 (),则,2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是_.,3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为_.,基础训练:,1、已知 =(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是_.,60,0,135,0,N,解：如图建立坐标系A-xyz,则,即,在长方体 中，,例,1：,N,又,在长方体 中，,例,1：,例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC=，SA=SB=.,(1)求证,(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。,S,A,B,C,D,O,x,y,z,【典例剖析】,例3,如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为45,0,?若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。,【典例剖析】,D,B,A,C,E,P,x,z,y,解：以A为原点，,AD、AB、AP,所在的直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，,设BE=m，则,例4、(2004，天津)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。,(1)证明：PA/平面EDB；,(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。,【典例剖析】,A,B,C,D,P,E,G,x,y,z,【巩固练习】,1 三棱锥P-,ABC PAABC,PA=AB=AC,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_.,2,直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,A,1,A=2,AB=AC=1,则AC,1,与截面BB,1,CC,1,所成,角的余弦值为_.,3正方体,中,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中E为A,1,D,1,的,中点,则二面角E-BC-A的大小是_,如图，已知：直角梯形OABC中，OABC,AOC=90，SO面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：,(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值,(2)OS与面SAB所成角的余弦值,(3)二面角BASO的余弦值,O,A,B,C,S,x,y,z,【课后作业】,
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