平面向量的数量积及运算律

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4,！,平面向量的数积及运算率,【,学习目标,】,1.,认识理解平面向量数量积的含义及物理意义，体会,平面向量的数量积与向量投影的关系。,2.,掌握平面向量数量积的性质和运算律，熟练地应用,平面向量数量积的定义、运算律进行运算。,自主学习,【,问题导学,】,阅读课本,P103P105,，回答下列问题,1,向量数量积的定义是什么？,先看一个物理问题,一个物体在力,F,的作用下产生的位移,s,，那么力,F,所做的功应当怎样计算？,s,F,其中,是,F,与,s,的夹角,.,W,=|,F,|,s,|cos,从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。,先看一个概念,-,向量的夹角,两个非零向量,a,和,b,，作 ，则,叫做向量,a,和,b,的,夹角,O,A,B,a,b,O,A,B,b,a,当 ，,O,A,B,b,a,当 ，,O,A,B,a,b,当 ，,记作,已知,a,与,b,同向；,a,与,b,反向；,a,与,b,垂直,.,平面向量的数量积的定义,已知两个非零向量,a,和,b,，它们的夹角为,，我们把数量,叫做,a,与,b,的,数量积,（或,内积,），记作,a,b,，即,规定：零向量与任意向量的数量积为,0,，,即,0,（,1,）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定,.,（,3,）,在运用,数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是,0,，,180,（,2,）,两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,，它与,数的乘法是有区别的，,a,b,不能写成,a,b,或,ab.,说明：,2.,垂直于直线,OA,，垂足为,B,1,，则,，过点,B,作,BB,1,如图,O,A,B,a,b,|b|,cos,|,b,|,cos,叫向量,b,在,a,方向上的投影,|,a,|,cos,叫向量,a,在,b,方向上的投影,3,向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？,什么时候为负？什么时候为零？,O,A,B,a,b,O,A,B,a,b,B,O,A,a,b,为锐角时，,|,b,|,cos,0,为钝角时，,|,b,|,cos,0,为直角时，,|,b,|,cos,=0,数量积的物理意义：,数量积的几何意义：,等于,的长度,与,在,的方向上的投影,的乘积。,s,F,W=,F,s,=|,F,|,s,|,cos,4,向量数量积的几何意义是什么？,（,1,）,e a=a e=|a|,cos,（,2,）,a,b,a b=,0,(,判断两向量垂直的依据,),（,3,）,当,a,与,b,同向时，,a b,=|,a,|,|,b,|,，当,a,与,b,反向,时，,a b,=,|,a,|,|,b,|,特别地,（,4,）,由数量积的定义，可得以下重要性质,:,设,a,，,b,都是非零向量，,e,是与,b,方向相同的单位向量，,是,a,与,e,的夹角，则,5.,向量的数量积有那些性质？为什么？请你证明,(5),，即,数量积的运算律：,交换律：,对数乘的结合律：,分配律：,6,向量数量积满足那些运算律？如何证明？,数乘的结合律：,等式显然成立,.,综上所述：,分配律：,.,O,C,A,A,1,B,B,1,实数运算与平面向量的数量积的区别,向量数量积不满足结合律,.,说明：,练习,1,：判断下列命题正确与否：,（,1,）若,a,=,0,，则对任一向量,b,，,有,ab,=,0,。,（,2,）若,a,0,，则对任一非零向量,b,，,有,ab,0,。,（,3,）若,a,0,，,ab=,0,，则,b=,0,。,（,4,）若,ab=,0,，则,a,、,b,中至少有一个为,0,。,（,5,）若,a,0,，,ab=ac,，则,b=c,。,（,6,）若,ab=ac,，则,bc,，,当且仅当,a=,0,时成立。,（,7,）对任意向量,a,，有,a,2,=|a|,2,。,（）,（,X,）,（,X,）,（,X,）,（,X,）,（,X,）,（）,b,c,a,练习,2,：,1,、,有四个式子：,其中正确的个数为（）,A,、,4,个,B,、,3,个,C,、,2,个,D,、,1,个,2,、,已知、都是单位向量，下列结论正确的是（）,A,、,B,、,C,、,D,、,3,、,有下列四个关系式：，其中正确的个数是（）,A,、,1,B,、,2,C,、,3,D,、,4,D,B,A,【,合作、探究、展示,】,合作探究,解,(1):,(2):,例,2,我们知道，对任意,恒有,.,对任意向量,是否也有下面类似的结论？,作为公式,所以有上述类似的结论,【,课堂小结,】,1,理解平面向量数量积的含义及物理意义，平面向量的,数量积与向量投影的关系。,2,掌握平面向量数量积的性质和运算律，熟练地应用平面,向量数量积的定义、运算律进行运算。,【,达标检测,】,教材,P106,练习,1,2,3 P108 A,组,1,2,3 B,组,1,已 知 是非零向量，且 与,垂直，,与 垂直，,求 的夹角。,例,2,：,代入,得,解：,补例,3,、,如图，在平行四边形,ABCD,中，已知，,，求：,（,1,）；（,2,）；,（,3,）,解：,因为,且方向相同，,所以,与,夹角是,所以,因为,且方向相反，,所以,与,的夹角是,所以,所以,与,的夹角为,因为,与,的夹角是,，,所以,（,1,）,（,2,）,（,3,）,