内切球、外接球问题

处理球的“内切” “外接”问题一、球与棱柱的组合体问题：1正方体的内切球：设正方体的棱长为 a,求(1)内切球半径；(2)外接球半径；(3)与棱相切的球半径。a(1)截面图为正方形 EFGH的内切圆，得R 2(2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆。为、/2正方形EFGH的外接圆，易得 R a o2(3) 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5,以对角面AA1作截面图得，圆 。为矩形AA1cle的外接圆，易得 R A1O.3a o2精品资料设正三棱柱底面边长为a ,则R2a,正三棱柱的图6AA1和它们的球心作截面,图52 .在球面上有四个点 P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且 PA PB PC a, 求这个球的表面积是.【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】3 .已知底面边长为a正三棱柱 ABC AB1cl的六个顶点在球 O1上，又知球 02与此正三棱柱的 5个面都 相切，求球。1与球。2的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图6,由题意得两球心 01、02是重合的，过正三棱柱的一条侧棱高为h2R2 也a,由Rt A1D1O中，得32Ri,32一 a32R23a652a , 12RiS1 : S2 R12 : R22 5:1 , V1 :V2 5医 1二棱锥的内切、外接球问题4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点。是内切球的球心，正四面体棱长为a .由图形的 对称性知，点。也是外接球的球心.设内切球半径为r ,外接球半径为 R.在 Rt BEO 中，BO2 BE2 EO2 ,即 R2a r2 ,得 R a ,34得R 3r【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为（h为正四面体的4高），且外接球的半径 3h,从而可以通过截面图中 Rt OBE建立棱长与半径 4图1之间的关系。5 .正三棱锥S ABC,底面边长为3,侧棱长为2,则其外接球和内切球的半径是多少6 .正四棱锥S ABCD ,底面边长为2,侧棱长为3,则其外接球和内切球的半径是多少 练习：1 .（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为J2 ,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为2 .（球内接长方体问题） 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2, 3,则此球的表面积为 。3 .设P, A,B,C是球O面上的四点，且PA,PB,PC两两互相垂直，若PA PB PC a,则球心O到截面ABC的距离是4 .（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥S ABC中，侧棱SC 侧面SAB,侧棱SC 2,则此正三棱锥的外接球的表面积为 5 .（球内接棱柱问题）若一个底面边长为 百，棱长为J6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，2则此球的体积为.6 .（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的6个顶点），则此内切球与外接球表面积之比为 。7 .（球内接正四棱锥问题）半径为R的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥.则四棱锥的体积为 .8 .（正三棱锥球内切问题）正三棱锥的高为3,底面边长为8J3,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.则球的表面积与体积分别为 .9 .三棱锥A BCD的两条棱AB CD 6,其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球半径.说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球， 球心到正三棱锥的四个面的距离相等,都为球半径 R.这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决.13 ; 2 14 ; 3a； 412 ； 5-;61:5; 7264 256 ;8TWelcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！