复变函数复习题

复习题一.填空题（每题3分，总分3*5=15分）一31,设 f（z）=z,则 f （1+i）=2 .函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在点Z0解析的充要条件是I 七十三诵=3 .设c为正向圆周iz =4,则口y* z-3 f (z)4 . Z=1为 z -1的 级极点。; Fc (t);F l； (t -t0)l-5 .o三.计算题（1, 2每题10分；3, 4每题15分；总分10M2+15父2 = 50分）1、计算积分（利用留数定理或者柯西积分定理求解）zQfdz，其中 Ra0, R#1 且 r#2 ;（1）指出被积函数奇点；并判断是什么类型奇点；（2）分情况讨论：当0R1;1R2;2Rh时的积分值.1+0 z 0）的傅立叶变换及其积分（即傅立叶逆变换）表达式。.Ly 2y -3y 二e4.利用拉氏变换求常系数微分方程1y(0) = 0, y(0) =1 的解.（提示:Lf(t) =sF(s)-f (0), L j(t) = s2F(s)-sf(0)-f(0)复习题二 二.填空题（每题3分，总分3*5=15分）。1.2+2i的指数形式为 ,三角表达式为2 . Ln (-1 )=oO“ Cn（Z i）n3 .若哥级数n包在z = i处发散，那么该级数在z=2处的敛散性为4 .设c为正向圆周5 F b叫e _,)=3z-1-攵计算积分c z -z =_Lfit-t。=三、计算题（每题5分，总分5*3=15分）212. /2,2、1、设函数 f（z）= x +axy+by +i（cx +dxy + y 问常数 a,b,c,d 取何值时，f（z）在复平面内处处解析。2 7人2、求f（z）sin z在点z = 0的泰勒级数。13、计算积分Qzezdz,期中c为正向圆周lz=1四、计算积分（利用留数定理或者柯西积分定理求解）（13）t(2z1)(z-2)2 dz内展成洛朗级数。（12分）11 |t f（t）=六.求函数、0 t,二/2二sin 3 1 cos t ,:“o d；A；40指出被积函数奇点；并判断是什么类型奇点；计算积分，其中c是曰=1;匕一2 =1;忆一1 一%h=3;五.把函数f（z） 一z2 -3z + 2在0VMM1 ；同2:包* :二木卜3 的傅立叶变换，指出其振幅谱并证明小3, m=3,心3. （15分）2tx(t) 2x(t) 2y(t) =10eOf-2x(t) 2y (t) 3y(t)=13e x(0)=1,y(0)=3七.利用拉氏变换求常系数微分方程的解.(15)(提示：Lf =sF-0)复习题三 二.填空题(每题2分，总分2*9=18分)。1 .复数-1节的指数形式为 ，三角表达式为。2 .方程忆2 +刚二亚所代表的曲线是二i 二 i ln z =3 .已知 2 ,贝J z _J， -1)4 .设幕级数g 的收敛半径为R ,那么幕级数 1的收敛半径为.5.121 1 z z2级数z z的收敛区域是16.z =设c为正向圆周 2,则f(z) = 丁;7. Z=1为z -1的 阶极点。11 ，z3ezdz 二3 -8. Resz ez,0二;积分5-9. F 环(t-10)+技(t+t0*；Let+1=o三、计算题(1、2每题6分，3、4每题8分，5、6每题9分。总分46分)31.解万程：z +8=0. (6分)2 .试讨论函数f(z) = (x2-y2-x)+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？(6分）dz的值。其中积分路径分别为（1） CZ=%；ze-c3 .利用柯西定理计算积分z（z+1）(2) C: z =3. (8 分)1 1f z 二4.将函数 3z-2分别在点zW和z = 2展成泰勒级数.（8分）,1 七f （z）=在.5 .把函数 z（z+2）0巾2；0Vlz+22；2闫+内展成洛朗级 数。（9分）zf （z ）= T2 dz6 .已知积分,J-1）（z+3）,（i）指出被积函数奇点；并判断是什么类型奇点；（2）利用留数计算积分，其中C是旧=%忆+3=3;闫=4. （9分）f(t)=:四.求函数I0t 0t 0的傅立叶变换及其积分表达式(12 分)y t -2x t -y t =1x t -2x t -y t =1五.利用拉氏变换求常系数微分方程x(0)=2, y(0) =1的解.（12分）（提示：Lf（t）=sF（s）-f（0）复习题四 二.填空题（每题2分，总分2*10=20分）。1 .复数i的指数形式为，三角表达式为。2 . 2|z|3所代表的区域为-1f Z - 23 .函数 z -1的奇点为, f（I）o4 .已知1 +占=0 ,贝U z=5 .设c为正向圆周上2,76.2 n幕级数n n的收敛区域为z7.设c为正向圆周7 2 _i1 dzz-2 -1 ,则 C2z3zf z ze8 . z=1是函数依）-z21的 阶极点。Resf,1=9 .已知函数fa）的傅里叶变换为F（s了通（8 则f户10 .已知函数f（t）= 则其Laplace变换为三、计算题（1、2、3、4每题8分，5题12分。总分44分）32231 .试讨论函数f（z）= x -3xy i（3xy-y）在复平面上何处可导？何处解析?分）2.利用柯西定理计算积分cdz红+1Kz-2）的值。其中c为z =,*2. （8 分）3.4.将函数f二号在奇点展成幕级数，并判断奇点类型.（8分）1f（z）二求函数z（z2）的洛朗级数。（8分）3z 22dz5.已知积分cz （z+2）,（1）指出被积函数奇点；并判断奇点类型；（8分）（2）利用留数计算积分，其中C是“一八12;k2. （4分）-1-1 ：二 t :二 0f （t） = 10 :二 t ：二 14 .求函数 10 其它的傅立叶变换。（12分）2s 1F s 二5 .（1）已知函数s（s + 1 ）（s + 2） 求其Laplace逆变换。（6分）,2tx- x = e（2）利用拉氏变换求常系数微分方程x（0）= 0的解.（6分）（提示：L=sF-）复习题五二.填空题（每题2分，总分2*10=20分）。1 .不等式3 * z -5所确定的区域为 （填“单”或“多”）连通区域。32 .写出z +1=0的任意两个根 ;。f z）3 .函数 z的解析性区域为一332 2.5.设c为正向圆周闫=4,则挈+z 6 z - 2i)dz 二4 .函数f（z尸x - y 2x y i （填“是”或者“不是”）解析函数。二： n“二6.幕级数n田n!的收敛半径R二7 .如果函数f（z）在点z0解析，那么z0为f（z）的m级零点的充要条件是 8 .已知函数 f )z2 _1 ,贝Re，f (Z ,习=0,t : 0 :叱(0)9.指数衰减函数、et -0 的频谱为kt10.已知指数函数f（t）=e （k为实数），则其Laplace变换为三、计算题（每题8分）1 .求Ln如它的主值。（8分）,C 322 .利用柯西定理计算积分 z（z-2）的值。其中（1） cz-3=2;（2）忆一1=3；（8 分）1 1f z =3 .将函数3z2分别在z = 0和z = 2展成泰勒级数。（8分）14 .求函数f=z3ez的洛朗级数并计算积分U（zdz。其中c为正向圆周以=1。（8分）5 .设C是z平面上一条不经过2 = 02 = 1的正向简单闭曲线，利用留数定理，试就coszI ）dzC的各种情况计算积分cz （z - 1） 。（ 8分）6.求函数f （t） = （t -0）的Fourier正弦变换;： sin t ,二,八o2- d = -e , t 0并推证1+。22(8 分) 四.阐述“函数f（z）在点zo可导”所满足的条件？ “函数 f（z）在点zo解析”所涉足的条件？两者之间存在怎样的关系？ （ 8分）五.（1）简述利用LaPlace变换求解常微分方程（组）的方法。（6分）“八ty -2y y = e（2）利用拉氏变换求常系数微分方程的解.（6分）（提示:Lf(t)=sF(s) - f (0), Lf(t)卜s2F(s)-sf(0)-f(0)复习题六二.填空题（每题3分，共18分） 11. （16）4的指数表达形式为。2. Ln（1 i）的主值为 3. 级数1+2z+3z2+一+nzn-1+的和函数的解析域是 4.设c为正向圆周2 dzz 一 37 4”z|-4z ,贝U 15.二,n 2-1罗朗级数的Z3)n 笛 n ( z 工(-1 ) I1 -3nj3ez -1Re s6.、计算题（每题6分，共30分）1.求z2 -2i =0的全部根。2.寸誓dz （其中C为正向圆周|z|=1 ） c 3z3.zLzze_1dz （积分沿正向圆周进行）4.f(z) =指出z -sinzz6在有限复平面上的孤立奇点及其类型,f z dz并计算积分5.求方程y“+2y-3y = e满足初始条件y=0的解。Le,=-(提示：s+1)四.综合题（每题10分，共40分）1 212v（x, y） - - x y1.已知f（z）的虚部为22，求解析函数f（z产u iv，且满足f 0 =0f (z)=2.将函数（z 7）（z -2）在1 |z| 2上展开成罗朗级数。3.证明：外t -t0 ：）与e jwto构成一对傅氏变换对。4.请指出指数函数 w=ez、对数函数w = ln z、正切函数w = tanz的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。