《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法(含答案)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法（含答案）【三角形辅助线做法】也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。图中有角平分线, 角平分线平行线, 线段垂直平分线, 三角形中两中点,可向两边作垂线。等腰三角形来添。常向两端把线连。连接则成中位线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证 明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答。一、倍长中线（线段）造全等（一）例题讲解例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB 5, AC 3,求中线AD的取值范围。分析：本题的关键是如何把 AB, AC, AD三条线段转化到同一个三角形当中。解：延长AD到E,使DE DA,连接BEA又 BD CD, BDE CDA7/ BDE CDA SAS , BE AC 3AB BE AE AB BE （三角形三边关系定理）B，DC即 2 2AD 8 1 AD 4经验总结：见中线，延长加倍。E例2、如图， ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE DF , D是中点，试比较BECF与EF的大小。证明：延长FD到点G,使DG DF ,连接BG、EG. BD CD , FD DG , BDG CDFBDG CDFBG CFDE DFEF EG在 BEG 中，BE BG EGBG CF , EF EG BE CF EF例3、如图， ABC中，BD DC AC, E是DC的中点，求证：AD平分 BAE. 证明方法一：利用相似论证。证明：BD DC AC-1 -AC - BC 2 E是DC中点11 一 EC -DC -AC , ACE BCA 22BCAs ACE ABC CAE. AC DC ADCDAC , ADC ABC BADABC BAD DAE CAE BADDAE即AD平分 BAE证明方法二：利用全等论证。证明：延长AE至ij M,使EM AE ,连结DM易证 DEM CEAC MDE , AC DM又 BD DC ACBD DM , ADC CAD又 ADB C CAD, ADM MDE ADC ADM ADB ADM ADB BAD DAE 即AD平分 BAEM（二）实际应用：1、（2009崇文二模）以 ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和等腰Rt ACE, BAD CAE 90 ,连接DE, M、N分别是BC、DE的中点。探究：AM与DE的位置关系及 数量关系。 1）如图1当 ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ,线段AM 与DE的数量关系是;（2）将图1中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（090 ）后，如图2所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。解：(1) ED 2AM ,证明：延长AM到G,AM ED ;使MG AM ,连BG ,则ABGC是平行四边形AC BG , ABGBAC 180又 DAE BAC180ABG DAE再证： DAE ABGDE 2AM ， BAGEDA延长MN交DE于BAG DAH90HDA DAH90 AM ED（2）结论仍然成立.证明：如图，延长CA至F,使AC FA, FA交DE于点P,并连接BFDA BA,EAAFBAF 90DAFEAD在 FAB和EAD中FA AEBAFEADBA DAFABEAD (SAS) BF DEF AENFPDAPE AEN 90F FB DE又 CA AFCMMBAM /FB ，且AM1 FB2A AM DE,AM-DE2、截长补短（一）例题讲解例1、如图， ABC中，AB 2AC, AD平分BAC，且 AD BD ,求证:CD AC证明：过D作DM AB ,垂足为MAMDBMD 90又 ADBD , DM DMADMBDM AMBMAB2AC ACAM.AD平分BAD在ADC和AC AMBACCADADM中BAD CAD , AD ADADMADCACDADM 90即：CDAC例2、如图，AC/ BD , EA, EB分别平分证明：在AB上截取AF AC ,连接EFCABDBA, CD过点E,求证:AB ACBD在CAE和FAE中AC AFCAEFAEAE AECAEFAECEAFEACEABED FEA FEB 90即 FEBDEB在DEB和FEB中FEBDEBBE BEFBEDBEDEBFEB (ASA) BDBF ABAFBF AC BD例3、如图,已知在AP, BQ分别是BAC,证明：延长AB到D,ABC 内， BAC 60 ,ABC的角平分线。求证： 使BD BP,连接PD.则BQ.AP,BQ分别是 BAC , ABC的角平分线,2 30 , ABC 180 6040 80 ,QBQC40 ，AQBACP,ABQ分别在BC,CA上,并且BP60C 403又 D 534 80D 40在APD与APC中AP AP ,12 , D C 40 APD APC (AAS) AD AC即 AB BD AQ QCBQ AQ AB BP例4、如图，在四边形 ABCD中，BC BA, AD CD , BD平分 ABC.求证： A C 180解：过点D作DE BC于E,过点D作DF AB交BA的延长线于FBD 平分 ABCCAD , P为AD上任意一点。DE DF , F DEB 90在 Rt CDE 和 Rt ADF 中AD CDDE DF Rt CDE Rt ADF (HL)FAD CBAD C BAD FAD 180例5、如图，在 ABC中，AB AC , BAD 求证：AB AC PB PC证明：如图，在 AB上截取AE,使AE AC ,连接PE在AEP和 ACP中AE ACBAD CADAP APAEP ACP (SAS)PE PC在 PBE 中，BE PB PE,即 AB AC PB PC（二）实际应用如图，在四边形 ABCD中，AD/BC,点E是AB上一个动点，若 B 60 , AB BC ,且DEC 60 ,判断AD AE与BC的关系并证明你的结论。分析：此题连接 AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有 BC AD AE连接AC,过E作EF BC并AC于F点则可证 AEF为等边三角形即 AE EF , AEF AFE 60 CFE 120又AD/BC, B 60BAD 120又 DEC 60AED FEC在ADE与FCE中EAD CFE , AE EF , AED FEC ADE FCE AD FC BC AD AE点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的 性质解决。、平移变换（一）例题讲解例1、AD为 ABC的角平分线，直线 MN AD于A. E为MN上一点，ABC周长记为PA ,EBC周长记为Pb.求证：Pb Pa.证明：延长BA到F ,使AF AC，连接EF .AD为ABC的角平分线 BAD CADMN AD FAE 90 BAD 90 CAD CAE . AF AC , AE AE AFE ACE EF EC. BE EF BF BE EC AB AF AB ACBC+BE+CEAB+AC+BC BE EC BC AB AC BCABC的周长小于 EBC的周长，即Pb Pa例2、如图，在 ABC的边上取两点 D、E,且BD CE,求证： AB AC AD AE.解析：先连接AF并延长至G,使FG AF ,其中F是BC的中点，连接 GB, GC, GD ,GE.可知四边形 ABGC,四边形ADGE是平行四边形，延长 AD至H,交BG于H.运用三角形 的三边关系：“两边之和大于第三边”即可进行证明。证明：连接 AF并延长至G,使FG AF ,其中F是BC的中点，连接 GB, GC, GD , GE. BD CEDF EF四边形ABGC,四边形ADGE是平行四边形BG AC, DG延长AD至H,交AEBG于HABBHADDH , DH HG DG ABBHDHHG AD DH DGABBGADDG即ABACADAE点评:本题考查了三角形三边关系，将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键.本题借助辅助线DH起枢纽作用。方法2:取BC中点M ,连AM并延长至 N,使MN AM ,连BN, DN BD CEDM EMDMN EMA (SAS) DN AE同理BN CA延长 ND 交 AB 于 P,贝U BN BP PN , DP PA AD 相加得：BN BP DP PA PN AD各减去DP,得：BN AB DN AD AB AC AD AEN四、借助角平分线造全等（一）例题讲解例1、如图，已知在 ABC中,求证：OE ODB 60 , ABC的角平分线 AD, CE相交于点O.证明：在. AD是AC上取点F,使AFA的平分线AE,连接OFEAOFAOAO AOAEOAFO EO FO,AOE AOF.CE是 C的平分线DCOFCOB 60BACACB120CODCAOOCABAC ACB60COF180COD2 AOF 180 606060COFCODOC OCOCD OCF OD OFOE ODAC AF CF AE CD , 即：AC AE CD例2、如图， ABC中，AD平分 BAC, DGBC 且平分 BC, DE AB于 E, DF AC AC b ,求 AE、BE 的长。 DGBC且平分BC DBDCDEAB, DF AC,AD平分BAC DEDF Rt DEB RtDFCBE CF(2)解： DEADAD Rt AEDRtAFDAEAFABACAE BEAFCFAE AFAEABACAE BEAFCF2BE于F. (1)说明BE CF的理由；(2)如果AB a (1)证明：连接DB , DC2BE, BE(二)实际应用1、如图，OP是MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：BAC、 BCA 的平(1)如图，在 ABC中，ACB是直角，B 60 , AD、CE分别是分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：(1) FE与FD之间的数量关系为 FE FD(2)答：(1)中的结论FE FD仍然成立。证法一：如图1,在AC上截取AG AE,连结FG- 12, AF为公共边，AEF AGFAFE AFG , FE FGB 60 , AD、CE分另1J是 BAC、 BCA的平分线23 60AFE CFD AFG 60CFG 6034及FC为公共边CFG CFD FGFD FEFD证法二:如图2,过点F分别作FG AB于点G, FH BC于点HAD、CE分别是BAC、BCA的平分线3 60 , F是ABC的内心GEF 601, FH FG又 HDF B 1GEF HDF，可证 EGF DHF图2例1、的度数。解：将ADF绕点A顺时针旋转90 ,至 ABG GEGB BE DF BEEFAEFEAFAE , AFAEGGAE又 EAFBAEAGBAEDAFGAB BAE DAF90FE FD五、旋转例题讲解正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE DF EF ,求 EAFEAF 45例2、D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DM(1)当 MDN绕点D转动时，求证：DE DF(2)若AB 2,求四边形 DECF的面积。DN , DM , DN 分别交 BC, CA 于点 E, F。分析:(1)连CD,根据等腰直角三角形的性质得到CD 平分 ACB , CD AB, A 45 ,CD DA, 至 U CDE则 BCD 45 , CDA 90 ,由 DMADF ,根据全等三角形的判定易得DN得EDF 90 ,根据等角的余角相等得DCE ADF即可得到结论;(2)由DCE ADF ,则 S DCE S ADF , 于是四边形DECF的面积CD DA 1 ,根据三角形的面积公式易求得S acd ,解：(1)连CD,如图，. D为等腰Rt ABC斜边AB的中点从而得到四边形S ACD ,由而AB 2可得DECF的面积。 .CD 平分 ACB , CD AB, A 45 , CD DABCD 45 , CDA 90 DM DNEDF 90CDE ADF在DCE和ADF中DCEDAFDC DACDEADFDCEADF DEDFDCEADF一S DCES ADFDECF的面积S ACD而AB 2 CD DA 1四边形DECF的面积S ACD1CD 2DA点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质。例3、如图， ABC是边长为3的等边三角形, 以D为顶点做一个60角，使其两边分别交 AB于点 长。BDC是等腰三角形，且 交AC于点N,连接MNBDC 120 , 求AMN的周解：: BDC是等腰三角形，且 BDC 120BCD DBC30ABC是边长为3的等边三角形ABC BACBCA 60DBA DCA90顺时针旋转 BDM使DB与DC重合在DMN和DM N中DM DMMDNNDM60DN DNDNMDNM MN MN NCBM AM AN MNNC BM AN AB AC AMN的周长为6（二）实际应用1、已知四边形 ABCD 中，AB AD, BC CD , AB BC , ABC 120 , MBN 60 ,MBN绕B点旋转，它的两边分别交(1)当 MBN绕B点旋转到 AE(2)当 MBN绕B点旋转到 AEAD、DC (或它们的延长线)于E、F.线段CF时(如图1),易证 AE CF EF .CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不若成立，请给予证明；若不成立, 需证明。ABAEBC ,解：(1) AB AD ,BCCFABECBF(SAS)；ABECBFBFABCMBNABECBF60BEF为等边三角形 BEEF-1CF AE 1 BE2AECFBEEF(2)图证明图2成立，图3不成立。2,延长DC至点K,使CK AE,连接BK贝 U BAE BCKBE BK , ABEKBCFBEABC120FBCABE60FBCKBC60KBFFBE60KBFEBF KFEFKCCFEF即AECFEF图3不成立,AE、CF、EF的关系是AE CFEF2、(西城09年一模)已知：PA 2 , PB 4,以AB为一边作正方形 ABCD ,使P、D两点落在直线AB的两侧。(1)如图，当 APB 45时，求AB及PD的长；(2)当 APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应 APB的大小。分析：(1)作辅助线，过点 A作AE PB于点E,在Rt PAE中，已知 APE, AP的值, 根据三角函数可将 AE, PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将 PAD绕点A顺时针旋转90得到 PAB, 可得 PAD PAB ,求PD长即为求PB的长，在Rt APP中，可将PP的值求出，在Rt PPB 中，根据勾股定理可将 PB的值求出；解法二：过点 P作AB的平行线，与DA的延长线交于F, 交PB于G,在Rt AEG中，可求出 AG, EG的长，进而可知 PG的值，在Rt PFG中，可求出 PF,在Rt PDF中，根据勾股定理可将 PD的值求出；(2)将PAD绕点A顺时针旋转90，得到 PAB,PD的最大值即为PB的最大值，故当P、 P、B三点共线时，P B取得最大值，根据P B PP PB可求P B的最大值，此时 APB 180 APP 135 .解：(1)如图，作AE PB于点EPA45C2AEPEAPB4PEBBEPB90PADPAP90CPPABEF可得AGEG3PFG中可得RtFGPFABEC155可得RtPDFA22 5PD5B如图所示(2)90PPB中DDPBP最大值CAAPBPPBPPBP作AB的平行线P二 DARt AEG 中PE 3PA PAABCD为正方形，可将将PP 2PG PEPAD绕点A顺时针旋转90DPG cos FPG PG cos解法一：如图，因为四边形解法二：如图Rt PAE 中, APBRt ABE 中, AEB2AG FGe线a pb取得EG 1 D13P AB, PDAB . AE2 BE2PAB,PP PB , PP2, PB 4且P、D两点落在直线AB的两侧PD P B PP 2 PB2P AB ,可得 12AE cos ABEAE cos EAG24290 ,PD PB,P F E的最大值，即为PB的最2 AD2灰;APP 45 , PPB1010153D此时P B PP PB 6 ,即P B的最大值为6此时 APB 180 APP 1353、在等边 ABC的两边 AB、AC所在直线上分别有两点M、N, D为 ABC外一点，且MDN 60 , BDC 120 , BD DC.探究：当 M、N分别在直线 AB、AC上移动时，BM、 NC、MN之间的数量关系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系。图1图2图3(1)如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时Q ;L(2)如图2,点M、N边AB、AC上，且当DM DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？ 写出你的猜想并加以证明；(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若 AN x,则Q (用x、 L表不).分析：(1)如果 DM DN , DMN DNM ,因为 BD DC ,那么 DBC DCB 30 , 也就有 MBD NCD 603090，直角三角形 MBD、NCD中，因为BD DC , DM DN ,根据 HL定理，两三角形全等。那么 BM NC , BMD DNC 60 ,三角形 NCD中，NDC 30 , DN 2NC,在三角形 DNM中，DM DN , MDN 60 ,因此三角形 DMN 是个等边三角形，因此 MN DN 2NC NC BM ,三角形AMN的周长Q AM AN MNAM AN MB NC AB AC 2AB,三角形 ABC 的周长 L 3AB,因此 Q: L 2:3.(2)如果DM DN ,我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长 AC至E,使 CE BM ,连接 DE. (1)中我们已经得出， MBD NCD 90 ,那么三角形 MBD和ECD 中，有了一组直角， MB CE , BD DC ,因此两三角形全等， 那么DM DE , BDM CDE ,EDN BDC MDN 60 ,三角形 MDN 和 EDN 中，有 DM DE , EDN MDN 60 , 有一条公共边，因此两三角形全等，MN NE,至此我们把BM转换成了 CE,把MN转换成了NE,因为NE CN CE,因此MN BM CN . Q与L的关系的求法同(1),得出的结果是一 样的。（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2)过D作 CDH三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的DCH MB 90，我们做的角BDMBD CD ,因此两三角形全等（ASA）.那么BM CH , DM DH ,三角形MDN和已知的条件有因为 CDHMD DH , 一条公共边ND,要想证得两三角形全等就需要知道MDB,因此 MDH BDC 120 ,因为 MDN60 ,那么MDNNDHNDH 中，HDN ,120 6060 ,因止匕了.那么NMMDN NDH , NH AN AC这样就构成了两三角形全等的条件.BM，三角形AMN的周长Q AN三角形MDN和AM MN ANDNH就全等ABBMAN AC BM 2AN 2 AB.1因为 AN x , AB 一 3L ,因此三角形AMN的周长Q 2x解：（1）如图1, BM、NC、MN之间的数量关系:BMNCMN ;此时Q L（2）猜想：结论仍然成立.证明：如图2,延长AC至E,使CEBD CD ,且 BDC 120BM ,连接DEDBC DCB 30又ABC是等边三角形MBDNCD 90在MBD与ECD中BM CEMBDECDBD DCMBDECD (SAS)DM DE， BDM CDEEDN在MDN与BDCEDNMDN 60中BAMNCD图1DM DEMDNDN DNEDNMDNEDN(SAS)图3 MN NENCBM故AMN的周长QAM AN MNAM BMAN NCABAC 2AB而等边 ABC的周长L 3AB.Q 2AB 2 -L 3AB 3（3）如图3,当M、N分别在AB、CA的延长线上时,若 ANx,则-2 .Q 2x L (用 x、L 3点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现 的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。