第3讲_实对称矩阵的对角化

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矩阵的特征值与特征向量,第,1,节 矩阵的特征值与特征向量,第,2,节 相似矩阵,第,3,节 实对称矩阵的对角化,第,3,节 实对称矩阵的对角化,一 复数及复数矩阵的运算性质,若,x,y,是两个复数，则,证明：,二 实对称矩阵的特征性质,定理,：,实对称矩阵的特征值全为实数。,证明,：设,A,为实对称矩阵，由于方阵在复数下一定有特征值与特征向量，不妨设,为,A,的任一个特征值，且,x,0,为对应于,的特征向量，即有,Ax=,x.,定理说明对称矩阵的特征根全是实根。由于当特征值,为实数时，齐次线性方程,(A-,E)x,=0,是,实系数方程组,，由,|A-,E|=0,知必有,实的,基础解系，所以对应的特征向量为,实特征向量,。,定理,：属于对称矩阵,A,的不同特征值的特征向量必正交。,证明,：,得,定理：设,是实对称矩阵,A,的任一特征值，则它的几何重数等于它的代数重数。,证明：略。,定理表明，若,是,n,阶实对称矩阵,A,的,r,重特征值，则对应于特征值,，,A,有,r,个线性无关的特征向量，从而,A,有,n,个线性无关的特征向量，故,A,可对称化。,进一步，若对,A,的属于同一特征值的特征向量进行施密特正交单位化过程，则还可得到,A,的,n,个正交的单位特征向量，将这,n,个正交的单位特征向量作成矩阵,U,则有,定理,：设,A,为,n,阶对称阵，则必有正交阵,U,，使,U,-1,AU=,U,T,AU,=,，,其中,是以,A,的,n,个特征值为对角元的对角阵。,三 实对称矩阵的对角化,依据上述定理及推论，对称阵,A,对角化的步骤为：,例,：,令,例,：已知,A,如下，求正交矩阵,T,，使得,TAT,为对角矩阵。,再求,-3,的特征向量，得,令,例,：,