数学分析7-习题课(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,关于实数完备性的,6,个基本定理,1.,确界原理（定理,1.1,）；,2.,单调有界定理（定理,2.9,）,；,3.,区间套定理（定理,7.1,）；,4.,有限覆盖定理（定理,7.3,）,5.,聚点定理（定理,7.2,）,6.,柯西收敛准则（定理,2.10,）；,在实数系中这六个命题是相互等价的。,第七章习题课,在有理数系中这六个命题不成立。,1.,确界原理,在实数系中，任意非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。,2.,单调有界定理,；,在,实数系中，单调有界数列必有极限。,即数列的单调有界定理在有理数域不成立。,3.,区间套定理,若,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点,所以区间套定理在有理数系不成立。,反例：,4.,有限覆盖定理,在实数系中，闭区间,a,b,的任一开覆盖,H,，,必可从,H,中选出有限个开区间覆盖,a,b,。,反例：,5.,聚点定理,实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。,反例：,S,是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为,e,因而在有理数域没有聚点。,5.1,致密性定理：,在实数系中，有界数列必含有收敛子列。,反例：,其极限为无理数,e,从而任一子列均收敛于,e,。,故,x,n,在,有理数域内没有收敛的子列。,6.,柯西收敛准则,反例：,即柯西收敛准则在有理数域不成立。,几个概念：,区间套（闭区间套），,聚点（,3,个等价定义及其等价性的证明），,开覆盖（有限开覆盖）。,举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。,但不存在属于所有开区间的公共点。,举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。,但不能从中选出有限个开区间盖住（,0,，,1,）。,因为右端点始终为,1,，左端点有限个中必有一个最小者，,构成了开区间（,0,，,1,）的一个开覆盖，,定义,有界数列,(,点列,),x,n,的最大聚点 与最小聚点,A,分别称为,x,n,的上极限与下极限,记作,数列的上下极限概念,1.,在（,a,，,b,）,上的连续函数,f,为一致连续的充要条件是,f,（,a,+0,）与,f,（,b-,0,）,都存在。,不适合无限开区间,f,(,x,),一致连续的判定：,3.,闭区间上连续的函数必一致连续。,5.,若,f,(,x,),在,有限区间,I,上,无界，则,f,(,x,),在,I,上必,不,一致连续。,P168.1.,解答,P168.7.,证法,1,：,不妨设,x,n,单调增加。,若,x,n,无界或,x,n,是,常数列，,则,x,n,一定没有聚点。,不合题意。,故,x,n,必为,有界数列且不是常数列。,从而,x,n,一定有确界，,由,单调有界定理的证明可知：,证法,2,：,由,单调有界定理的证明可知：,故,x,n,一定有界，从而有确界。,P172.2,证,有限区间,I,上一致连续的函数必有界。,若,I,为闭区间，则结论显然。,下面假设,I,为开区间（,a,b,）。,P172.3,证,P172.3,证法,2,