专题：分组数据的统计分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,统计学原理专题,专题：分组数据的统计分析,分析方法选择的依据,需要哪种分析方法：描述或推论,拥有哪类样本：概率样本与非概率样本,测量尺度：定距,/,定比，定序，定类,何种比较：集中趋势，变异性，形状，比例，相关性,结果呈现方式：表，图，统计摘要,分组方式：单组或与已知值对比，两组，多组,分组独立性：独立样本，配对样本,正态性：因变量是否满足正态分布,方差齐性：各组因变量方差是否相同,自变量数量：多个自变量的独立影响，偏影响,检验,1,：两个相关样本,1.,符号检验,对于配对样本，检验两个组的对应样本之差，计算取,+,号和取,-,号的频数，进行符号检验。,可以进行双侧检验和单侧检验。,2,、,Wilcoxon,符号秩检验,符号秩检验与符号检验的原理相同，但增加了对差值大小的检验，因此判断能力更强,考察以下数据,24.3 25.8 25.4 24.8 25.2 25.1 25.0 25.5,能否认为其中位数是,25,？,建立原假设,H0,：数据中位数为,25,计算下表,编号,数值,的秩,D,的符号,1,24.3,-0.7,0.7,6,2,25.8,0.8,0.8,7,+,3,25.4,0.4,0.4,4,+,4,24.8,-0.2,0.2,2.5,5,25.2,0.2,0.2,2.5,+,6,25.1,0.1,0.1,1,+,7,25.0,0,0,8,25.5,0.5,0.5,5,+,计算所有,+,号的秩和,T,+,=19.5,，所有,-,号的秩和,T,-,=8.5,查表得,P-level=0.211,，不能拒绝原假设，即无法否认中位数为,25,。,在,N,足够大时,对于两个相关样本的情况，可以计算二者之差，然后建立原假设，检验二者之差的中位数为,0,，在此基础上进行,Wilcoxon,符号秩检验。,检验,2,：两个独立样本,1,、,Mann-Whitney-Wilcoxon,检验,译作：曼,-,惠特尼,-,威尔克森检验，有时简作“曼,-,惠特尼,U,检验”。,检验目的在于判断两个独立样本是否为同分布。,对于两个独立样本,X,和,Y,，假定其样本量分别为,m,和,n,，将其进行混合，并进行排列，计算各自的秩和。,在一次实验中，获得实验组和对照组结果如下,实验组,(X),：,8,，,12,，,18,对照组,(Y),：,6,，,9,，,11,，,13,建立原假设,H0,：两个独立样本同分布，进行混合排序,计算,X,和,Y,的秩和均为,14,。,构造统计量,在,m,n,10,的条件下，可以查表获得其显著性。,M,和,n,均大于,10,时,数据,6,8,9,11,12,13,18,秩,1,2,3,4,5,6,7,组别,Y,X,Y,Y,X,Y,X,2,、,Wald-Wolfowitz,游程检验,H0,：两个独立样本同分布，或者二者有相同的中位数。,将两组数据进行混合排列，观察所产生的序列的游程数,U,。,在原假设成立的情况下，两个样本高度混合，游程数较多。如果游程数偏少，则表明二者的中位数不同。,在,m+n20,时，,U,近似服从于正态分布。,3,、两样本的,2,检验,对于两个定类尺度的样本，假定划分为,R,个组，则各组的理论频数可以按下列公式计算,构造统计量,若两总体同分布，,Q,服从于,r-1,个自由度的卡方分布,4,、两样本的,Kolmogorov-Smirnov,检验,对于两个定序以上尺度的样本，计算,建立原假设,H0,：两个样本同分布,在假设下，,D,值应当很小。当,D,值超过指定的边界值时，拒绝原假设。,检验,3,：,K,个相关样本,1,、,Cochran Q,检验,用于检验,K,个组的某些定类测量结果是否存在差异。,观察一个口味调查的例子：对,18,名受访者进行四种饮料,(,热牛奶，酸奶，果汁，可乐,),的偏好调查，得到数据如下,消费者,热牛奶,酸奶,果汁,可乐,合计,（,Y,）,1,1,0,0,1,2,2,0,0,1,0,1,3,0,0,1,1,2,4,1,1,0,0,2,5,1,0,1,0,2,6,0,1,0,0,1,7,0,0,0,1,1,8,0,1,0,0,1,9,0,1,1,0,2,10,1,1,1,0,3,11,0,0,1,0,1,12,0,0,1,0,1,13,1,0,0,1,2,14,1,1,0,0,2,15,1,1,0,0,2,16,0,1,0,0,1,17,1,0,0,1,2,18,0,0,0,1,1,合计,（,X,）,8,8,7,6,29,建立原假设,H0,：,K,个样本间无明显差异,构造统计量,在样本量,N,比较大时，,Q,服从于,K-1,个自由度的卡方分布。,2.,Friedman,检验,检验,K,个样本是否来自于同一个总体，与,Cochran Q,检验一样，,Friedman,检验也要求样本是配对样本，即在,K,个不同条件下的同一组样本作出的反应。,Friedman,检验主要针对定序数据。,构造,Q,服从于,K-1,个自由度的卡方分布,学生组,电视教学,课堂讲授,课堂讨论,1,1,3,2,2,1,2,3,3,2,3,1,4,3,2,1,5,2,1,3,6,1,3,2,7,1,2,3,8,2,3,1,9,2,1,3,10,2,1,3,11,1,3,2,12,1,3,2,13,1,2,3,14,1,3,2,15,1,2.5,2.5,16,1,2,3,17,1,2,3,18,1,2,3,合计（,）,25,40.5,42.5,数据：将,54,名学生分成,18,个组，每组,3,名学生，分别接受电视教学、课堂讲授和课堂讨论三种教学方法。学习后进行测试，根据分数计算三种方法的秩如下。,计算,Q=10.8,，,2,个自由度的卡方值为,5.99,，拒绝原假设，即认为三种教学方法存在差异性。,检验,4,：,K,个独立样本,1,、,Kruskol-Wallis,检验,译作“克拉夏尔,-,瓦里斯检验”，也可称为“克氏检验”，是对两个独立样本的,Mann-Whitney-Wilcoxon,检验的推广。,假设有,K,个总体，各自的连续累积分布函数分别为,F,i,(x),。,建立原假设,将,K,个样本进行混合，其秩和为,N(N+1)/2,，平均每个值的秩为,(N+1)/2,考察第,J,个样本，其实际秩和为,R,j,，理论秩和为,n,j,(N+1)/2,。,在原假设成立的情况下，实际秩和与理论秩和的差异应当很小。构造统计量,H,服从,K-1,个自由度的卡方分布。,2.K,个样本的,2,检验,建立原假设,H0,：,K,个样本同分布,将,K,个样本分布为,r,个组，每组计算期望频数和理论频数。,统计量,Q,服从于,(k-1)(r-1),个自由度的卡方分布,检验,5,：两个样本的相关分析,1,、等级相关,计算斯皮尔曼等级相关系数,(Spearman coefficient of rank correlation),。,将两个样本按观察数据的顺序进行配对，分别计算每个数据的秩，将两组样本的秩分别记录为,U,和,V,。,如果两个测度完全一致，则,U,与,V,的差异应当为,0,。,计算,D,U,V,的平方和，该值越大，表明相关性越差。,2,、,Kendall,秩相关,对于,n,个配对样本，先将样本,X,的秩按自然顺序排列，然后将,Y,的秩与,X,的秩相对应，从而得到,Y,的一个秩排列顺序。,计算,Y,的秩序情况，得到“一致对”的数量,U,和“非一致对”的数量,V,。,利用上述三个公式之一，可以计算出秩相关系数,T,，取值在,-1,至,+1,之间。,K=U-V,，,T,为希腊字母,的大写，发音为,Tao,。,Kendall,秩相关中的“一致对”也称协同对,(Concordant),，,意思为满足下列条件的数对：,协同对的数量减去不协同对的数量得到的,K,值在大样本条件下有,3.,偏秩相关,偏秩相关是检验当存在第三组样本量时，前两组样本之间的相关系数独立于第三组样本的情况。,该相关系数的取值范围也在,-1,至,+1,之间，但其抽样分布至今未知，因此难以进行显著性检验。,检验,6,：,K,个样本的相关分析,1,、完全秩评定的,Kendall,协和系数,Kendall Coefficient of Concordance for Complete Rankings,。,数据：,3,名消费者对,6,个品牌的电冰箱质量评定的秩如下,消费者,品牌,A,品牌,B,品牌,C,品牌,D,品牌,E,品牌,F,1,1,6,3,2,5,4,2,1,5,6,4,2,3,3,6,3,2,5,4,1,秩和,（,R,j,）,8,14,11,11,11,8,各品牌秩和的期望值为,k(n+1)/2,，在各组呈正相关的情况下，秩和,R,j,的离散程度较大。特别是，当各组的秩评定严格相等的时候，秩和表现为如下序列：,k,，,2k,，,3k,，,，,jk,。,构造统计量,定义,Kendall,完全秩评定协和系数为,该系数取值为,0-1,，取值为,0,时，表示,K,组秩不相关,2.,Kendall,不完全秩评定协和系数,假定有,K,个样本，每组含有,n,个观察值，但每组观察值评定的秩为,m,，,mn,，此为不完全秩评定。,考虑评定次数,的影响，建立以下平衡关系,构造协和系数,3.,Friedman,检验和多重比较,Friedman,检验：,Friedmans Two-way analysis of variance by ranks,。用于检验,K,组秩之间的联系。,例如：,针对同一种疾病的,n,种处理，建立如下原假设：,其中，,j,表示第,j,种处理的平均结果,定义列秩和的离散平方和为,构造统计量,Q,服从,n-1,个自由度的卡方分布,