回归分析课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1,回归分析的基本思想及其初步应用,高二数学 选修,2-3,复习回顾：,相关关系的强弱,-,线性相关系数,(2)r,为正时，表明变量,x,与,y,正相关,;r,为负时，表明变,量,x,与,y,负相关。,（,3,）,r,的绝对值越大，,x,与,y,的相关性越强。,比,数学,3,中“回归”增加的内容,数学,统计,画散点图,了解最小二乘法的思想,求回归直线方程,y,bx,a,用回归直线方程解决应用问题,选修,2-3,统计案例,引入线性回归模型,y,bx,a,e,了解模型中随机误差项,e,产生的原因,了解相关指数,R,2,和模型拟合的效果之间的关系,了解残差图的作用,利用线性回归模型解决一类非线性回归问题,正确理解分析方法与结果,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重数据如表,1-1,所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,案例,1,：女大学生的身高与体重,解：,1,、选取身高为自变量,x,，,体重为因变量,y,，,作散点图：,2,、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。,分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量,2.,回归方程：,1.,散点图；,本例中,r=0.7980.75,这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。,探究,：,身高为,172cm,的女大学生的体重一定是,60.316kg,吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,答：身高为,172cm,的女大学生的体重不一定是,60.316kg,，,但一般可以认为她的体重接近于,60.316kg,。,即，用这个回归方程不能给出每个身高为,172cm,的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的值。,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重数据如表,1-1,所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,案例,1,：女大学生的身高与体重,解：,1,、选取身高为自变量,x,，,体重为因变量,y,，,作散点图：,2,、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。,3,、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数,y=,bx+a,描述它们关系。,我们可以用下面的,线性回归模型,来表示：,y=,bx+a+e,，,(3),其中,a,和,b,为模型的未知参数，,e,称为随机误差,。,y=,bx+a+e,，,E(e)=0,D(e)=,(4),在线性回归模型,(4),中，随机误差,e,的方差 越小，通过回归直线,(5),预报真实值,y,的精度越高。随机误差是引起预报值 与真实值,y,之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。,另一方面，由于公式,(1),和,(2),中 和 为截距和斜率的估计值，它们与真实值,a,和,b,之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值,y,之间误差的另一个原因。,思考,:,产生随机误差项,e,的原因是什么？,随机误差,e,的来源,(,可以推广到一般）：,1,、忽略了其它因素的影响：影响身高,y,的因素不只是体重,x,，,可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；,2,、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；,3,、身高,y,的观测误差。,以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,线性回归模型,y=,bx+a+e,增加了随机误差项,e,，,因变量,y,的值由自变量,x,和,随机误差项,e,共同确定，即,自变量,x,只能解析部分,y,的变化,。,在统计中，我们也把自变量,x,称为解释变量，因变量,y,称为预报变量。,所以，对于身高为,172cm,的女大学生，由回归方程可以预报其体重为,表,3-2,列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，,是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始,数据中是否存在可疑数据，,这方面的分析工作称为残差分析,。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,残差,-6.373,2.627,2.419,-4.618,1.137,6.627,-2.883,0.382,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本,编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为,残差图,。,残差图的制作及作用。,坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；,若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域,；,对于远离横轴的点，要特别注意,。,身高与体重残差图,异常点,错误数据,模型问题,几点说明：,第一个样本点和第,6,个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。,另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,例,2,、在一段时间内，某中商品的价格,x,元和需求量,Y,件之间的一组数据为：,求出,Y,对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,价格,x,14,16,18,20,22,需求量,Y,12,10,7,5,3,解：,例,2,、在一段时间内，某中商品的价格,x,元和需求量,Y,件之间的一组数据为：,求出,Y,对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,价格,x,14,16,18,20,22,需求量,Y,12,10,7,5,3,列出残差表为,0.994,因而，拟合效果较好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（,1,）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（,2,）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系,（如是否存在线性关系等）。,（,3,）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程,y=,bx+a,）,.,（,4,）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（,5,）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。,