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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一章 量子力学基础例题与习题,例,1,：子弹的质量为,0.01kg,，运动速度为,1000m/s,，电子质量为,9.11 10,-31,kg,，运动速度为,5 10,6,m/s,，试求子弹和电子的,de Broglie,波长。,经典物理中的波与量子力学中的态都遵从叠加原理，两者在数学形式上完全相同，但在物理本质上则完全不同。经典波，如光波、声波等几个波同时在空间某点相遇，各个波在该点引起振动的线性叠加。一般导致一个新的波，具有新的特点。德布罗意波的叠加，例如两个波的叠加,=c,1,1,+c,2,2,假如体系处于,1,所描述的状态下，测量某力学量,A,所得结果是个确定值,a,，又假设在,2,所描述的状态下，测量,A,的结果为另一确定值,b,，则在,状态下测量,A,的结果，绝对不是,a,、,b,以外的新值，而可能为,a,，也可能为,b,，究竟是哪一个值，不能肯定，但测到,a,或,b,的几率则完全确定，分别为,|,c,1,|,2,或,|,c,2,|,2,。量子力学中态的叠加导致在叠加态下测量结果的不确定性。,量子力学这种态的叠加与经典波叠加概念之所以有本质的不同，在于实物粒子的波粒二象性,有关态叠加原理的解释,例,2,：,已知类氢离子,sp,3,杂化轨道的一个波函数为：,求这个状态的角动量平方平均值的大小。,根据正交归一化条件,解,1,：,解,2,：,例,3.,势箱模型在化学中的应用,1.,光波粒二象性的关系式为,。,2.,德布罗意关系式为,；宏观物体的,值比微观物体的,值,E,=,hv,p,=,h,/,v=E/h,=,h/p,小,习题：,3.,计算动能为,300eV,的电子的德布罗意波长,.,解,:,已知常数,h=6.626,10,-34,J/s m=9.11,10,-31,g,1eV=1.602,10,-19,J,因此,=,=7.0810,-9,(cm),由,4.,测不准原理的另一种形式为,E,t,h,/4,当一个电子从高能级向低能级跃迁时，发射一个能量子,hv,，,若激发态的寿命为,10,-9,s,，试问,v,的偏差是多少？由此引起谱线宽度是多少,(,单位,cm,-1,),？,E,=,h,/4,t,=,(,hv,)=,h,v,v,=1/(4,t,)=1/(4,10,-9,)=7.96,10,7,s,-1,=,v,/,c,=7.9610,7,s,-1,/310,10,cms,-1,=2.6510,-3,cm,-1,5,下列函数中,(A)cos,kx,(B)e,-bx,(C)e,-ikx,(D),(1),哪些是,的本征函数；,-(),(2),哪些是 的本征函数；,-(),(3),哪些是,和,的共同本征函数。,-(),BC,ABC,BC,6.,维生素,A,有,5,个双键，在,332nm,处有一吸收峰，试用一维深势阱模型估算维生素,A,的共轭链长。,答：维生素,A,中每个双键提供一对,电子，共有,10,个,电子，在基态时电子两两配对，共占据五个,分子轨道。,分子的最低激发能是将电子从第五个,分子轨道激发到第六个,分子轨道所吸收的能量,由此可计算出不同链长对应的吸收波长，能较好的与实验相符。,花菁染料的吸收光谱,（水溶性染料）,电子数：,HOMO:,第,r,+2,个轨道（相当于第,n,个）,LUMO:,第,r,+3,个轨道（相当于第,n,+1,个）,CH,7.,C,H,C,H,N,+,R,2,(,),r,R,2,N,当,r=3,时，势箱长度约为,1.30nm,，估算,电子跃迁时所吸收的最大波长，并与实验值,510nm,比较。,已知一维长度为,a,的势箱中粒子的归一化波函数为：,式中,x,是粒子的坐标（,0 xa,）。,计算：（,a,）,粒子坐标的平均值；,（,b,）,粒子动量的平均值。,8.,解,：,（,a,）由于 无本征值，,只能求粒子坐标的平均值：,粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为,0.5,，即 图形对势箱中心点是对称的。,(b),由于 无本征值,.,可按下式计算 的平均值。,共有,11,个微观状态,解：根据能级公式，立方势箱的态分布具有如下形式：,求立方势箱能量 的可能的运动状态数。,9.,第二章 原子结构的例题与习题,a,决定体系轨道角动量与轨道磁矩的大小,;,b,决定轨道的形状，且与节点数有关,;,径向节面数为,n-l-,1,；角向节面数为,l,;,c,在多电子体系中，,l,与能量有关；,d,对应不同亚层,l,=0(s),，,1(p),，,2(d),，,3(f),例,1,：已知,H,原子的某个原子轨道函数,试计算：,(1),原子轨道能量,E,；,(2),轨道角动量,|,M,|,和轨道磁矩,|,|,；,(3),轨道角动量和,z,轴之间的夹角。,(4),该轨道在磁场中能级会不会发生变化？,解：首先根据函数形式确定相应的量子数,n,=2,l,=1,m,=0,在没有外加磁场时，氢原子,n,l,相同,m,不同的各状态的能量本来是简并的，当施加外加磁场时，,m,不同的状态能量就变得不同了,.,原子的能级在磁场中将进一步发生分裂，这种现象称为,Zeeman,效应。,B,l,=1,m,=1,m,=0,m,=-1,B=0 B,0,原子能级磁场中能级分裂图,E,=,m,e,B,例,2,对于氢原子，如果,设所有函数都已归一化，请对所描述的状态计算,(1),能量平均值及能量,E,2,出现的几率,(2),角动量平均值及出现的几率,(3),角动量,z,分量的平均值及,M,z,=,出现的几率,解：根据量子力学原理，对于归一化的波函数,，被迭加的函数,i,对其贡献为,c,i,2,故,1.,氢原子波函数,中是算符,的本征函数是,，算符,的本征函数有,，算符 的本征函数有,.,A B C,A B C,A C,2.,是否分别为：,否,习题：,3.,求解氢原子的,Schrdinger,方程能自然得到,n,，,l,，,m,，,m,s,四个量子数，对吗？,4.,对单电子原子来说，角量子数,l,确定后，它的轨道角动量矢量是能够完全确定的，对吗？,5.,对于单电子原子，在无外场时，能量相同的轨道数是：,-(),(A),n,2,(B)2(,l,+1)(C)2,l,+1,(D),n,-1 (E),n,-,l,-1,不对,不对,A,6.,试写出,He,原子基态的,Slater,行列式波函数。,基态,He,原子的,Slater,行列式波函数为,He,原子薛定谔方程为,7.,写出,He,原子的薛定谔方程,.,8.,写出下列原子能量最低的光谱支项的符号：,(,a)Si,；,(,b)Mn,；,(,c)Br,；,(,d)Nb,；,(,e)Ni,(a)Si:Ne3s,2,3p,2,(b),Mn,：,Ar4s,2,3d,5,解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满的电子层，电子的自旋相互抵消，各电子的轨道角动量矢量也相互抵消，不必考虑），根据,Hund,规则推出原子最低能态的自旋量子数,S,、角量子数,L,和总量子数,J,，进而写出最稳定的光谱支项。,(c),Br,：,Ar4s,2,4p,5,(d),Nb,：,Kr 5s,1,4d,4,(e)Ni,：,Ar4s,2,3d,8,9.,基态,Ni,原子可能的电子组态为：（,a,）,Ar3d,8,4s,2,；,(b)Ar3d,9,4s,1,，由光谱实验确定其能量最低的光谱支项为,3,F,4,。试 判断它是哪种组态。,所以，基态,Ni,原子的电子组态为,Ar3d,8,4s,2,。,(a),3,F,4,3,D,3,(b),10.,已知类氢离子,sp,3,杂化轨道的一个波函数为：,求这个状态的角动量平均值的大小。,根据态叠加原理和正交归一化条件,11.,设体系处在状态,=,c,1,211,+,c,2,210,中，角动量平方,M,2,和,M,z,有无定值。若有，其值为多少？若无，则求其平均值。,(1),是,2,属于同一本征值,2(),2,的本征函数的线性组合,所以，,是,2,的本征函数,其本征值亦为,2(),2,(2),是,z,属于本征值,h,和,0,的本征函数的线性组合,它不是,z,的本征函数,其,M,z,无确定值,其平均值为,=,
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