D14连续性间断点

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、函数连续性的定义,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性,第一章,1,可见,函数,在点,一、函数连续性的定义,定义,:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2),极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件,:,存在,;,且,有定义,存在,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,continue,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的,连续函数,.,例如,在,上连续,.,(,有理整函数,),又如,有理分式函数,在其定义域内连续,.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,对自变量的增量,有,函数的增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下,列等价命题,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,例,1,.,证明函数,在,内连续,.,证,:,即,这说明,在,内连续,.,同样可证,:,函数,在,内连续,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,在,在,二、函数的间断点,(1),函数,(2),函数,不存在,;,(3),函数,存在,但,不连续,:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一,函数,f,(,x,),在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为,间断点,.,在,无定义,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,间断点分类,:,第一类间断点,:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点,:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为,可去间断点,.,为,跳跃间断点,.,为,无穷间断点,.,为,振荡间断点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,为其无穷间断点,.,为其振荡间断点,.,为可去间断点,.,例如,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,显然,为其可去间断点,.,(4),(5),为其跳跃间断点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,注意,：,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在点,连续的等价形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,定理,2,.,连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,三、连续函数的运算法则,定理,1,.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和,差,积,(,利用极限的四则运算法则证明,),商,(,分母不为,0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数,.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(,递减,).,(,证明略,),在,1,1,上也连续单调递增,.,递增,(,递减,),也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,定理,3,.,连续函数的复合函数是连续的,.,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增,.,证,:,设函数,于是,故复合函数,又如,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,四、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,例如,的连续区间为,(,端点为单侧连续,),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,例,2.,求,解,:,原式,例,3.,求,解,:,令,则,原式,说明,:,当,时,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,例,4,.,求,解,:,原式,说明,:,若,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,例,5.,设,解,:,讨论复合函数,的连续性,.,故此时连续,;,而,故,x,=1,为第一类间断点,.,在点,x,=1,不连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,第四节,（一）,、最值定理,（二）、介值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、闭区间上连续函数的性质,第一章,17,注意,:,若函数在,开区间,上连续,结论不一定成立,.,(,一,),、最值定理,定理,4,.,在,闭区间,上连续的函数,即,:,设,则,使,值和最小值,.,或在闭区间内,有间断,在该区间上一定有最大,(,证明略,),点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,推论,.,由定理,1,可知有,证,:,设,上有界,.,(,二,),、介值定理,定理,5.,(,零点定理,),至少有一点,且,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,证明略,),在闭区间上连续的函数在该区间上有界,.,20,定理,6.,(,介值定理,),设,且,则对,A,与,B,之间的任一数,C,一点,证,:,作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论,:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,例,6.,证明方程,一个根,.,证,:,显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明,:,内必有方程的根,;,取,的中点,内必有方程的根,;,可用此法求近似根,.,二分法,在区间,内至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,则,22,内容小结一,基本初等函数,在定义区间内,连续,连续函数的,四则运算,的结果连续,连续函数的,反函数,连续,连续函数的,复合函数,连续,初等函数在定义区间内连续,说明,:,分段函数在界点处是否连续需讨论其,左、右连续性,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,内容小结二,在,上达到最大值与最小值,;,上可取最大与最小值之间的任何,值,;,4.,当,时,使,必存在,上有界,;,在,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业：,P26 16,17,24,小结三：,1.,函数在一点连续必须满足的三个条件,;,3.,间断点的分类与判别,;,2.,区间上的连续函数,;,第一类间断点,:,可去型,跳跃型,.,第二类间断点,:,无穷型,振荡型,.,间断点,(,见下图,),27,可去型,第一类间断点,o,y,x,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,o,y,x,o,y,x,o,y,x,26,备用题,1.,确定函数,间断点的类型,.,解,:,间断点,为无穷间断点,;,故,为跳跃间断点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,备用题,2.,求,则有,解,1:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,备用题,2.,求,解,2:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,备用题,3.,求,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30,备用题,4.,设,分析：对带有极限符号的函数，先去掉极限符号,为连续函数，试确定,a,及,b,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,31,解：当,时,当,|x|0,时，,则,x=0,是,f(x),的第二类间断点，而,f(x),的连续区间为,1.,有无穷间断点,x=0;2.,可去间断点,x=1,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,34,时，,解：因为,练习,2,：确定,a,、,b,使,无穷间断点。,即,e=b,。这时,要使,f(x,）有可去间断点,x=1,需求极限,故应要求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,35,故当,时，,f(x),有可去间断点。,作业：,P24 15.,（,4,）（,6,）（,10,）（,12,）,