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*,第四章 解析函数的级数表示,4.3,泰勒级数,4.3,泰勒级数,一、泰勒,(,Taylor,),定理,二、将函数展开为,泰勒级数的方法,z,0,D,C,一、泰勒,(,Taylor,),定理,则当 时，有,定理,设函数 在区域,D,内解析，,C,为,D,的边界，,其中，,证明,(,略,),R,l,为,D,内包围,点的,z,0,的任意一条闭曲线。,l,P88,定理,4.6,(,进入证明,?),一、泰勒,(,Taylor,),定理,注,(1),为什么只能在圆域 上展开为幂级数，,z,0,R,D,C,而不是在整个解析区域,D,上展开？,回答,这是由于受到幂级数本身,的收敛性质的限制：,幂级数的收敛域必须,是圆域。,幂级数一旦收敛，其,和函数,一定解析。,一、泰勒,(,Taylor,),定理,注,(2),展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。,方法一,一、泰勒,(,Taylor,),定理,注,(2),展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。,方法二,z,0,R,D,C,l,一、泰勒,(,Taylor,),定理,注,(3),对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，,其结果都是一样的，即具有唯一性。,将函数 在 点展开为幂级数。,比如,方法一,利用已知的结果,(,4.2,),:,方法二,利用泰勒定理,:,方法三,利用长除法。,(,长除法,),一、泰勒,(,Taylor,),定理,注,(4),对于一个给定的函数，能不能在,不具体,展开为幂级数,的情况下，就知道其收敛域？,可以知道,。,函数 在 点展开为泰勒级数，其收敛半径,结论,等于从 点到 的最近一个奇点 的距离。,(1),幂级数在收敛圆内解析，,因此奇点,不可能,理由,在收敛圆内；,(2),奇点,也,不可能在收敛圆外，不然收敛半径,还可以扩大，,故奇点,只能在收敛圆周上。,二、将函数展开为,泰勒级数的方法,1.,直接展开法,利用泰勒定理，直接计算展开系数,将函数 在 点展开为幂级数。,例,解,P90,例,4.6,二、将函数展开为,泰勒级数的方法,1.,直接展开法,利用泰勒定理，直接计算展开系数,同理可得,二、将函数展开为,泰勒级数的方法,2.,间接展开法,根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、,代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。,两个重要的已知展开式,故收敛半径,函数 有奇点,解,函数 有奇点,故收敛半径,(1),(2),P92,例,4.10,(1),解,将函数 分别在 点展开为幂级数。,例,P92,例,4.11,修改,(2),解,将函数 分别在 点展开为幂级数。,例,(1),解,(2),解,解,将函数 在 点展开为幂级数。,例,将函数 在 点展开为幂级数。,例,解,解,将函数 在 点展开为幂级数。,例,*,P93,例,4.12,泰勒级数的应用举例,计算斐波拉契数列的通项,1.,斐波拉契,Leonardo Fibonacci,，,约,1170,约,1240,，,意大利业余数学家。,3.,斐波拉契数列,2.,兔子问题,一对,(,超级,),小兔，在它们出生的第三个月开始，每月又,可生一对,(,超级,),小兔，问,n,个月后，共可得到多少对兔子？,4.,计算斐波拉契数列的通项,(1),变换,z,令,由,有,将 代入上式并求解得,泰勒级数的应用举例,计算斐波拉契数列的通项,4.,计算斐波拉契数列的通项,(2),泰勒级数展开,其中，,泰勒级数的应用举例,计算斐波拉契数列的通项,轻松一下吧,D,C,z,0,作圆,G,，,附：,泰勒定理的证明,R,z,r,G,z,由柯西积分公式有,由 有,如图以 为圆心，为半径,z,0,证明,设,z,为,G,内任意一点。,附：,泰勒定理的证明,证明,其中，,下面需证明,交换,次序,D,C,z,0,z,r,G,z,附：,泰勒定理的证明,证明,由 在,D,内解析，,连续，,有界，,即,又,有,(,返回,),附：,分式函数的长除法,以 为例,：,(,分子与分母均按升幂排列,),当 时，,(,返回,),
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