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用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1写出对应的二次型矩阵,并求其特征值,例2,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化,得正交矩阵,于是所求正交变换为,解,例3,五、小结,1.实二次型的化简问题,在理论和实际中,经常遇到,通过,在二次型和对称矩阵之间建立一,一对应的关系,,,将二次型的化简转化为将对称矩,阵化为对角矩阵,,而这是已经解决了的问题,请,同学们注意这种研究问题的思想方法,2.实二次型的化简,并不局限于使用正交,矩阵,根据二次型本身的特点,可以找到某种运,算更快的可逆变换下一节,我们将介绍另一种,方法,拉格朗日配方法,1.若二次型含有 的平方项,则先把含有,的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同,样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线,性变换,就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2.,若二次型中不含有平方项,但是,则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方,法配方.,解,例1,含有平方项,去掉配方后多出来的项,所用变换矩阵为,解,例2,由于所给二次型中无平方项,所以,再配方,得,所用变换矩阵为,二、小结,将一个二次型化为标准形,可以用,正交变换,法,,也可以用,拉格朗日配方法,,或者其它方法,,这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩,阵,无疑应使用正交变换法;如果只需要找出一,个可逆的线性变换,那么各种方法都可以使用,正交变换法的好处是有固定的步骤,可以按部就,班一步一步地求解,但计算量通常较大;如果二,次型中变量个数较少,使用拉格朗日配方法反而,比较简单需要注意的是,,使用不同的方法,,,所,得到的标准形可能不相同,,,但标准形中含有的项,数必定相同,,,项数等于所给二次型的秩,思考题,思考题解答,为,正定二次型,为,负定二次型,二、正(负)定二次型的概念,例如,正定二次型,(,正定矩阵,)的判别方法:,(1)定义法;,(2)顺次主子式判别法,;,(3)特征值判别法,.,特征值全大于零,对称矩阵 为正定的充分必要条件是:,的各阶主子式为正,即,负定二次型,(,负定矩阵,)的判别方法:,(1)定义法;,(2)顺次主子式判别法,;,对称矩阵 为负定的充分必要条件是:奇数阶主,子式为负,而偶数阶主子式为正,即,(3)特征值判别法,.,特征值全小于零,
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