第二章极限与连续(五)

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,补充例题,下页,2.6,函数的连续性,一、函数的连续性,连续性的变量,:,气温,t,、,物体运动路程,s,等,函数的连续性,.,x,从,x,0,变动到,x,时,y,从,f,(,x,0,),变动到,f,(,x,0,+,x,),函数,y,f,(,x,),y,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,),函数改变量,.,x,x,x,0,自变量改变量,.,y,y,x,x,o,y,f,(,x,),x,0,x,0,+,x,y,y,x,x,o,y,f,(,x,),x,0,x,0,+,x,连续点,间断点,下页,2.6,函数的连续性,一、函数的连续性,函数连续的定义,1:,设函数,y,f,(,x,),在点,x,0,的某个邻域内有定义,.,如果当自变量,x,在点,x,0,处的改变量,x,趋近于零时,函数相应的改变量,y,也,趋近于零,即,y,y,x,x,o,y,f,(,x,),x,0,x,0,+,x,y,y,x,x,o,y,f,(,x,),x,0,x,0,+,x,称,函数,f,(,x,),在点,x,0,处连续,.,点,x,0,称为函数,f,(,x,),的连续点,.,连续点,间断点,下页,2.6,函数的连续性,一、函数的连续性,函数连续的定义,2:,设函数,y,f,(,x,),在点,x,0,的某个邻域内有定义,.,如果函数,f,(,x,),当,x,x,0,时的极限存在,且等于它在点,x,0,处的函数值,f,(,x,0,),即,y,y,x,x,o,y,f,(,x,),x,0,x,y,y,x,x,o,y,f,(,x,),x,0,x,0,+,x,称,函数,f,(,x,),在点,x,0,处连续,.,求连续函数在某点的极限,只需求出该点的函数值即可,.,连续点,间断点,下页,2.6,函数的连续性,一、函数的连续性,左连续与右连续,:,设函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,b,内有定义,.,如果当,x,b,时的左极限存在,且等于,f,(,b,),即,y,y,x,x,o,y,f,(,x,),a,b,y,y,x,x,o,y,f,(,x,),x,0,x,0,+,x,称,函数,f,(,x,),在点,b,左连续,.,连续点,间断点,左连续与右连续,:,设函数,y,f,(,x,),在区间,a,b,),内有定义,.,如果当,x,a,时的右极限存在,且等于,f,(,a,),即,称,函数,f,(,x,),在点,a,右连续,.,下页,2.6,函数的连续性,一、函数的连续性,左连续与右连续,:,设函数,y,f,(,x,),在区间,a,x,b,内,有定义,.,如果当,x,b,时的左极限存在,且等于,f,(,b,),即,称,函数,f,(,x,),在点,b,左连续,.,左连续与右连续,:,设函数,y,f,(,x,),在区间,a,x,b,内,有定义,.,如果当,x,a,时的右极限存在,且等于,f,(,a,),即,称,函数,f,(,x,),在点,a,右连续,.,如果在区间内每一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数,若区间是闭区间,那么函数在左端点右连续,在右端点左连续,.,下页,2.6,函数的连续性,一、函数的连续性,例,:,函数连续的定义,1:,函数连续的定义,2:,证明线性函数,y,ax,+,b,在,(-,+),内连续,并求,x,0,点的极限,.,y,a,(,x,0,+,x,)+,b,(,ax,0,+,b,),a,x,下页,2.6,函数的连续性,一、函数的连续性,例,:,函数连续的定义,1:,函数连续的定义,2:,证明,y,sinx,在,(-,+),内连续,.,下页,2.6,函数的连续性,二、函数的间断点,函数,f,(,x,),在点,x,0,连续的三个条件,:,(1),f,(,x,),在点,x,0,有定义,;,(2),f,(,x,),在点,x,0,有极限,即 存在,;,(3),f,(,x,),在点,x,0,的极限等于,f,(,x,),在该点的函数值,即,;,其中一个条件不满足,f,(,x,),在点,x,0,就不连续,x,0,就是间断点,.,下页,2.6,函数的连续性,二、函数的间断点,函数,f,(,x,),在点,x,0,连续的三个条件,:,(1),f,(,x,),在点,x,0,有定义,;,(2),f,(,x,),在点,x,0,有极限,即 存在,;,(3),f,(,x,),在点,x,0,的极限等于,f,(,x,),在该点的函数值,即,;,定义,:,如果函数,f,(,x,),在点,x,0,不满足连续条件,则称,f,(,x,),在点,x,0,不连续,或称函数,f,(,x,),在点,x,0,间断,点,x,0,称为,f,(,x,),的间断点,.,下页,2.6,函数的连续性,二、函数的间断点,例,:,定义,:,如果函数,f,(,x,),在点,x,0,不满足连续条件,则称,f,(,x,),在点,x,0,不连续,或称函数,f,(,x,),在点,x,0,间断,点,x,0,称为,f,(,x,),的间断点,.,1.,可去间断点,若,f,(,x,),在点,x,0,有,则称点,x,0,为,函数,f,(,x,),的可去间断点,.,令,函数,f,(,x,),在,x,0,点就连续了,.,下页,2.6,函数的连续性,二、函数的间断点,例,:,定义,:,如果函数,f,(,x,),在点,x,0,不满足连续条件,则称,f,(,x,),在点,x,0,不连续,或称函数,f,(,x,),在点,x,0,间断,点,x,0,称为的间断点,.,1.,可去间断点,若,f,(,x,),在点,x,0,存在左、右极限,但,则称点,x,0,为函数,f,(,x,),的跳跃间断点,.,2.,跳跃间断点,y,x,o,1,-1,下页,2.6,函数的连续性,二、函数的间断点,例,:,定义,:,如果函数,f,(,x,),在点,x,0,不满足连续条件,则称,f,(,x,),在点,x,0,不连续,或称函数,f,(,x,),在点,x,0,间断,点,x,0,称为的间断点,.,1.,可去间断点,2.,跳跃间断点,第,一类间断点,f,(,x,),在点,x,0,的左、右极限都存在,.,3.,f,(,x,0,+0),f,(,x,0,-0),中至少有一个不存在,称为第二类间断点,.,y,x,o,1,x,1,处的左右极限都不存在,.,下页,2.6,函数的连续性,三、连续函数的运算法则及初等函数的连续性,例,:,1.,多项式函数,y,a,0,x,n,+a,n,-1,x+a,n,在,(-,+),内连续,.,定理,:,若函数,f,(,x,),与,g,(,x,),在点,x,0,处连续,则这两个函数的和,f,(,x,)+,g,(,x,),差,f,(,x,),g,(,x,),积,f,(,x,),g,(,x,),商,在点,x,0,处也连续,.,2.,有理分式函数 除分母为零的点外,在其它点都连续,.,考察,y,tan x,及,y,cot,x,的连续性,.,下页,2.6,函数的连续性,三、连续函数的运算法则及初等函数的连续性,定理,:,若函数,f,(,x,),与,g,(,x,),在点,x,0,处连续,则这两个函数的和,f,(,x,)+,g,(,x,),差,f,(,x,),g,(,x,),积,f,(,x,),g,(,x,),商,在点,x,0,处也连续,.,定理,:,连续函数的复合函数仍是连续函数,.,定理,:,连续增,(,减,),函数的反函数,x,f,-1,(,y,),是连续增,(,减,),函数,.,定理,:,一切初等函数在其定义区间内都是连续的,.,计算初等函数极限的方法,:,如果,f,(,x,),是初等函数,且,x,0,是其定义域内的一点,则有,下页,2.6,函数的连续性,三、连续函数的运算法则及初等函数的连续性,例,:,定理,:,若函数,f,(,x,),与,g,(,x,),在点,x,0,处连续,则这两个函数的和,f,(,x,)+,g,(,x,),差,f,(,x,),g,(,x,),积,f,(,x,),g,(,x,),商,在点,x,0,处也连续,.,定理,:,连续函数的复合函数仍是连续函数,.,定理,:,连续增,(,减,),函数的反函数,x,f,-1,(,y,),是连续增,(,减,),函数,.,定理,:,一切初等函数在其定义区间内都是连续的,.,求,ln,(,sinx,),在,(0,),内有定义且连续,/2(0,).,下页,2.6,函数的连续性,四、在闭区间上连续函数的性质,定理,:,如果函数,y,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续,则,f,(,x,),在这个闭区间上有界,.,定理,(,最大值与最小值定理,):,在闭区间,a,b,上的连续函数,f,(,x,),一定有最大值和最小值,.,y,x,o,a,b,1,2,yf,(,x,),f,(,1,),f,(,x,)(,a,x,b,),f,(,2,),f,(,x,)(,a,x,b,),下页,2.6,函数的连续性,四、在闭区间上连续函数的性质,定理,(,介值定理,):,设函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续,且在这区间的端点取不同的函数值,f,(,a,),A,与,f,(,b,),B,那么不论,C,是,A,与,B,之间怎样一个数,在开区间,(,a,b,),内至少有一个点,使得,f,(,),C,.,y,x,o,a,b,1,3,yf,(,x,),2,f,(,a,),A,f,(,b,),B,C,下页,2.6,函数的连续性,四、在闭区间上连续函数的性质,推论,(,根存在定理,):,如果函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,),与,f,(,b,),异号,则在,(,a,b,),内至少有一点,使得,f,(,),0.,y,x,o,a,b,1,3,yf,(,x,),2,推论,:,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,M,与最小值,m,之间的任何值,.,y,x,o,a,b,1,2,yf,(,x,),m,M,下页,作业,:8-1,8-3(1),、,(4),8-4,8-5(2),、,(4),、,(6),8-6,练习,:8-2,8-3(2),、,(3),、,(5),8-5(1),、,(3),、,(5),8-7,