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单击此处编辑母版标题样式,概率论与数 理 统 计,1.2,概率定义及性质率,公理化定义,统计定义,描述性定义,概率的最初定义,基于频率的定义,1930年后由前,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,历史上概率的三次定义,一、概率的描述性定义,定义,1.2.1,随机事件,A,发生的可能性大小的度量（数值），称为,发生的,概率,，记为,。,二、概率的统计定义,1,.,频率的概念,定义：,对于事件,A,，若在,n,次试验中，事件,A,发生的次数为次，则称,试验中发生的频率，称为事件,A,在这,n,次试验中的频数。,为事件,A,在,n,次,频率反映了事件,A,在一次试验中发生的可能性大小，频率大，事件,A,在一次试验中发生的可能性就大；频率小，事件,A,在一次试验中发生的可能性就小。,实验者,德 摩根,蒲 丰,2048,1061,0.5181,4040,2048,0.5069,12000,6019,0.5016,24000,12012,0.5005,逐渐稳定,频率的稳定性,事件发生,的,概 率,事件发生,的,频,率,根据如下百年统计资料可得,世界每年发生大地震的概率,2,.,频率的应用,近百年世界重大地震,1905.04.04,克什米尔地区,8.0 88,万,1906.08.17,智利,瓦尔帕莱索港地区,8.4,2,万,1917.01.20,印度尼西亚巴厘岛,1.5,万,1920.12.16,中国甘肃,8.6 10,万,1923.09.01,日本关东地区,7.9 14.2,万,1935.05.30,巴基斯坦基达,地区,7.5 5,万,时 间 地 点 级别死亡,“,重大,”,的标准,震级,7,级左右,死亡,5000,人以上,时 间 地 点 级别死亡,1948.06.28,日本福井地区,7.3 0.51,万,1970.01.05,中国云南,7.7 1,万,1976.07.28,中国河北省唐山,7.8 24.2,万,1978.09.16,伊朗塔巴斯镇地区,7.9,1.5,万,1995.01.17,日本阪神工业区,7.2 0.6,万,1999.08.17,土耳其伊兹米特市,7.4 1.7,万,2003.12.26,伊朗克尔曼省,6.8 3,万,2004.12.26,印尼,苏门答腊岛附近海域,9.0 15,万,世界每年发生大地震概率约为,14,%,3,.,频率的统计定义,对本定义的评价,优点,：直观,易懂,缺点：,粗糙,模糊,不便,使用,注,:“,频率的极限就是概率”这句话是不正确,从频率的定义可见频率具有如下性质,（）非负性,（）规范性,（）可加性,可加性可以推广到任意有限多个两两互不相容事件。,4,.,频率的性质,（,4,）,（,5,）,（,6,）,则,若,三、概率的公理化定义,定义,1.2.3,定义在事件域,F,上的一个集合函数,称为概率。,非负性：,3.,可列可加性：,2.,规范性：,如果它满足如下三个条件,：,若,且两两互不相容,有,（,1,）不可能事件的概率为,0,，即,逆命题不一定成立，即概率为,0,的事件不一定是不可能事件。,（,2,）有限可加性,两两互不相容,（,3,）,四、概率的性质,（,4,）减法公式，,推论,1,：,推论,2,：,任一事件,A,，,（,5,）一般加法公式，对任意两事件,A,、,B,，有,推论,2,：,推论,3,：,任一事件,A,，,B,推论,1,：,推论,3,：,注,:,由可列可加性可以推出有限可加性，但是一般来说由有限可加性并不能推出可列可加性,例,1.2.1,设,A,B,互不相容，且,试求,:,例,1.2.2,设,试求,:,例,1.2.3,设,A,B,C,为三个事件,且,证明,:,例,1.2.4,设,试求,:,A,B,C,为三个事件至少有一个发生的概率,.,例,1.2.5,设,A,B,C,为三个事件,证明,柯尔莫哥洛夫,(A.H.,1903-1987,),1939,年任苏联科学,院院士,.,先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍,院士 及皇家学会会员,.,为,20,世纪最有影响的俄,国数学家,.,俄国数学家,柯尔莫哥洛夫,为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献,.,他建立了在测度论基础上的概率论公理,系统,奠定了近代概率论的基础,.,他又是随机过程论的奠基人之一,其主要,工作包括,:,20,年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作,;,1933,年在,概率论的基本概念,一文中提出的概率论公理体系,(,希尔伯特第,6,问题,),30,年代建立的马尔可夫过程的两个基本,方程,;,用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳,序列的线性理论,;,40,年代完成独立和的弱极限理论,经验分,布的柯尔莫哥洛夫统计量等,;,在动力系统中开创了关于哈密顿系统的,微扰理论与,K,系统遍历理论,;,50,年代中期开创了研究函数特征的信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德的工作解决并深化了希尔伯特第,13,问题,用较少变量的函数表示较多变量的函数,;,1980,年由于它在调和分析,概率论,遍历理,论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖,;,他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就,.,其中包括,.M,.,盖尔范德,B.,阿诺尔德,.,西奈依等人,.,他还非常重视基础教育,亲自领导了中学,数学教科书的编写工作,.,60,年代后又创立了信息算法理论,;,
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