《极值与最值》PPT课件

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、,最大值与最小值问题,一、,函数的极值及其求法,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极值与,最大值最小值,第,三,章,一、,函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的,极大点,称 为函数的,极大值,;,(2),则称 为 的,极小点,称 为函数的,极小值,.,极大点与极小点统称为,极值点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在,导数为,0,或,不存在的点,.,1)函数的极值是函数的,局部性质,.,例如,(P147例4),为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 1,(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(1),“左,正,右,负,”,(2),“左,负,右,正,”,(自证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,点击图中任意处动画播放暂停,例1.,求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2,(极值第二判别法),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,证:,(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3,(判别法的推广),则:,数,且,1)当,为偶数,时,是极小点;,是极大点.,2)当,为奇数,时,为极值点,且,不是极值点.,当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,利用 在 点的泰勒公式,可得,例如,例2中,所以,不是极值点.,极值的判别法(定理1,定理3),都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.,例如:,为极大值,但不满足定理1,定理3 的条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、,最大值与最小值问题,则其最值只能,在,极值点,或,端点,处达到.,求函数最值的方法:,(1),求 在 内的极值可疑点,(2),最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别:,当 在 内只有,一个,极值可疑点时,当 在 上,单调,时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对应用问题,有时可根据,实际意义,判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点.,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:,显然,且,故函数在,取最小值 0;,在,及,取最大值 5.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此也可通过,例3.,求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同,由于,令,(自己练习),在闭区间,上的最大值和最小值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,k,为某一常数),例4.,铁路上,AB,段的距离为100 km,工厂,C,距,A,处20,AC,AB,要在,AB,线上选定一点,D,向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3,:,5,为使货,D,点应如何选取?,20,解:,设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故,AD,=15 km 时运费最省.,总运费,物从,B,运到工厂,C,的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,把一根直径为,d,的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高,h,和,b,应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解,:,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用开始移动,例6.,设有质量为 5 kg,的物体置于水平面上,受力,作,解:,克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,为多少时才可使力,设摩擦系数,问力,与水平面夹角,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的大小最小?,令,解得,而,因而,F,取最小值.,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,清楚(视角,最大)?,观察者的眼睛1.8,m,例7.,一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于,解:,设观察者与墙的距离为,x,m,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙,2.4 m,处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由,正,变,负,为极,大,值,过,由,负,变,正,为极,小,值,(3)第二充分条件,为极,大,值,为极,小,值,(4)判别法的推广,(Th.3),定理3 目录 上页 下页 返回 结束,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,思考与练习,2.连续函数的最值,1.,设,则在点,a,处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:,利用极限的保号性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,设,在,的某邻域内连续,且,则在点,处,(,A,)不可导;,(,B,)可导,且,(C)取得极大值;,(,D,)取得极小值.,D,提示:,利用极限的保号性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,设,是方程,的一个解,若,且,则,在,(,A,)取得极大值;,(,B,)取得极小值;,(,C,)在某邻域内单调增加;,(,D,)在某邻域内单调减少.,提示:,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P162 1,(1),(5);,3;5;,13;15,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,试问,为何值时,在,时取得极值,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,备用题,1.,求出该极值,并指出它是极大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求,解:,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求最大值为,