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单击此处编辑母版标题样式,*,第六章 能带理论,示意图,金属自由电子量子理论具有局限性。,固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质及部分金属电导率各向异性等无法解释。,金属自由电子论过于简单，它假设晶体势能为零，因而在其中运动的电子不受束缚，是自由电子。,实际上晶体中的电子是在周期性排列的离子和其它电子所组成的势场中运动，这个势场不是一个常数而是一个周期性势场。,要了解电子的运动状态,必须写出晶体存在相互作用的所有离子和电子的系统的薛定谔方程，这不可能实现。,金属自由电子论和能带论的比较,势场为,0,正离子,平面波,周期势场,正离子,调幅平面波,单电子近似,采用近似的方法,将多体问题简化为单体问题,(1),绝热近似：,多体问题简化,电子的运动速度（,10,8,cm/s,）远大于作晶格振动的原子，故原子实固定，在空间作周期排列，将电子运动和晶格振动分开,多体问题变为多电子问题,(2),平均场近似：,电子间相互作用可以用平均作用来代替,作用在电子上的势场只与该电子位置有关,如只考虑电子库仑力，称为哈特利平均场，如考虑自旋，电子间交换作用，称为哈特利,-,福克平均场（自洽场近似）,多电子问题单电子近似,(3),周期场近似：,离子固定周期势场电子平均势场周期性势场,根据上述单电子近似所建立的有关固体中电子的理论就是能带理论,.,6.1,布洛赫定理,6.1.1.,定理的内容,布洛赫波：不再是简谐平面波，而是调幅的平面波,即振幅可变。,具有此形式的波,:,称为,布洛赫波函数,它表明在不同的原胞点上，波函数相差一个位相因子,e,ikRn,，相位因子不影响波函数模的大小，所有不同原胞对应点上，电子出现概率是相同的。,势场为,0,正离子,平面波,调幅平面波,周期势场,正离子,比较,6.1.1,布洛赫定理的证明,平移对称性,晶体势场的周期性是晶格平移对称性的反映，即晶格在平移对称操作下是不变的。,T(R,n,),平移算符表示使,r,到,r+R,n,的平移操作相当的算符。其意义是使,T(R,n,),作用在任意函数,f(r),上产生新的函数,f(R,n,+r),。,T(R,n,)f(r)=,f(R,n,+r,),晶体中的平移算符共有,N,1,N,2,N,3,种,平移算符彼此对易，即：,对于哈密顿量也是对易的,量子力学已经证明，可对易的算符具有共同的本征算符集。,令单电子的波函数为,(r),，,使其同时为,H,和所有平移算符的共同本征函数。,即,a,1,，,a,2,，,a,3,，,是原胞三个基矢,其中,由于晶格具有平移对称性,因而要求其在平移操作下,波函数模的平方不变，即概率相同。,晶体中的单电子波函数由空间位置变量,r,和出现在平移算符中的,k,来表示。用,k,(r,),表示。,根据上面的讨论，可得到：,上述过程得到了布洛赫函数的第二种形式，即对布洛赫函数完成证明。,满足布洛赫定理的波函数,6.1.3,周期性边界条件,上述证明中，波矢,k,是任意的，但如果要求晶体满足周期性边界条件，则波矢,k,要受到限制,为了确定本征值，引入玻恩,-,卡门边界条件,结论,b,1,b,2,b,3,为倒易原胞矢量，为使,k,的取值范围与平移算符的本征值一一对应，只需把,k,即限制在倒易点阵的一个原胞之内通常就选取倒易点阵原点与最近的倒易格点中垂面所包围的区域为此限制范围从而得到,倒易点阵原点与最近的倒易格点中垂面所包围的区域称为第一布里渊区，又称为简约布里渊区，其中的矢量称为简约波矢。,示意图,波 矢 示 意 图,返回,量子围栏照片,4K,温度下,用,STM,的针尖将,48,个铁原子在铜表面形成电子围栏,圈中形成电子波动图景,它的大小及图形与量子力学的预言非常符合,.,思考题,费米能级和能带之间有何关联,价电子数量和能态密度有何关联,能态密度和波矢,k,有何关联,能带充满时有多少电子,量子态数目是否就是电子的数目,有,N,个原子的晶体,其能态密度，波矢,k,，能量等如何分布。,作 业,
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