小方差无偏估计和有效估计

单击此处编辑母版标题样式,第2,.3,节 最小方差无偏估计和有效估计,一、最小方差无偏估计,二、有效估计,一、最小方差无偏估计,最小方差无偏估计在均方误差意义下达到最优，是一种最优估计,.,如何寻求此种估计，将变得非常有意义,.,1,最小方差无偏估计的判别法,定理2,.7,证,注,此定理是最小方差无偏估计的判别法，但无,法寻求最小方差无偏估计的存在性,.,2,由于,L(X),的任意性，因而很难利用定理判别,.,例,1(p52,例2,.19),证,由此例可以看出，利用判别定理进行判别，非常复杂，况且也无法利用此定理去寻求,MVUE.,充分完备统计量是解决上述困难的有力工具,.,定理2,.8,证明从略,定理2,.9,注,由此定理可以看出，需求最小方差无偏估计，,可以只在无偏的充分统计量中去发现，如果这,样的无偏充分统计量唯一，则此统计量就是,最小方差无偏估计。以下定理回答此问题,.,证,以及,由此可得,又由于,T,是完备统计量，因而由定义1.6可知,注,最小方差无偏估计计算方法,例如,例,2(p54,例2,.20),解,由例1,.10,可知,所以,例,3(p54,例2,.21),解,首先寻求充分完备统计量，样本的联合分布为,利用完备分布族定义可以验证该分布族具有完备性,.,又由于,所以,二、有效估计,上一节介绍了最小方差无偏估计以及相应的寻求方法。自然会引入另一个问题：最小方差无偏估计是否可以任意的小？是否有下界？事实上，,Rao-Cramer,不等式,可以回答此问题。,1,、,Fisher,信息量,为,Fisher,信息量,.,Fisher,信息量的另外一种表达式为：,2,、,Rao-Cramer,不等式,定理2,.10,由此可见，统计量的方差不可以无限的小，存在下界。当其方差达到下界，它一定是,MVUE.,但最小方差无偏估计不一定达到下界,.,证(证明过程可以不讲）,由统计量,T(X),的无偏性可知：,因而,又由于,因而,则有,改写上式为,由施瓦兹不等式可知,因而有,又因为,这是因为,则有,综上所述,例,4(p55,例2,.22),解,解,例,5(p56,例2,.23),其信息量的下界为,又因为,其信息量的下界为,3,、有效估计,定义2.8,定义2.9,定义2.10,例6,证,有信息量计算公式可知：,例7(,p58,例2.24),证,定理2.11,证明从略。,解,例8,(p59,例2,.25),再 见,