资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,例,.,一薄壁圆管，平均半径为,R,，壁厚为,t,，受内压,p,作用，讨论下列三种情况：,（,1,）管的两端是自由的；,（,2,）管的两端是封闭的；,分别使用,Mises,和,Tresca,屈服条件，讨论,p,多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈服条件重合）,解：将,Mises,和,Tresca,中的材料常数,k,1,和,k,2,都使用纯剪时的屈服极限表示，,并使得两种屈服条件重合，则有,Mises,屈服条件,:,J,2,=,s,2,Tresca,屈服条件,:,1,3,=2,s,（,1,）管的两端是自由的；,应力状态为，,z,=0,，,=,pR,/,t,，,r,=0,，,zr,=,r,=,z,=0,J,2,=(,z,r,),2,+(,r,),2,+(,z,),2,+6(),=2(,pR,/,t,),2,=(,pR,/,t,),2,1,3,=,=,pR,/,t,对于,Mises,屈服条件,:,对于,Tresca,屈服条件,:,1,3,=,k,1,=2,s,p,=2,s,t,/,R,2,2,2,=,s,2,=,k,J,（,2,）管段的两端是封闭的；,应力状态为，,z,=,pR,/2,t,，,=,pR,/,t,，,r,=0,，,zr,=,r,=,z,=0,J,2,=(,z,r,),2,+(,r,),2,+(,z,),2,+6()=(,pR,/,t,),2,1,3,=,=,pR,/,t,对于,Mises,屈服条件：,p,=2,s,t,/,R,对于,Tresca,屈服条件：,p,=2,s,t,/,R,例,.,一种材料在二维主应力空间中进行试验，所得屈服时的应力状态为,(,1,，,2,)=(3,t,，,t,),，假定此材料为各向同性，与静水压力无关且拉压屈服应力相等。,（,1,）由上述条件推断在,1,2,空间中的各屈服点应力。,（,2,）证明,Mises,屈服条件在,1,2,空间中的曲线通过（,a,）中所有点。,解：由于静水压力无关的条件得出屈服在以下各点会发生：,(,1,，,2,，,3,)=(3,t,，,t,，,0)+(,3,t,，,3,t,，,3,t,)=(0,，,2,t,，,3,t,),(,1,，,2,，,3,)=(3,t,，,t,，,0)+(,t,，,t,，,t,)=(2,t,，,0,，,t,),再由于各向同性的条件，很容易看出,1,2,空间中的以下五个应力点也是屈服点,A,2,：,(,1,，,2,，,3,)=(,t,，,3,t,，,0),B,1,：,(,1,，,2,，,3,)=(,3,t,，,2,t,，,0),B,2,：,(,1,，,2,，,3,)=(,2,t,，,3,t,，,0),C,1,：,(,1,，,2,，,3,)=(2,t,，,t,，,0),C,2,：,(,1,，,2,，,3,)=(,t,，,2,t,，,0),还有，由于拉压屈服应力相等，因而可得到,1,2,空间中的另外六个应力屈服点,A,3,：,(,1,，,2,，,3,)=(,3,t,，,t,，,0),A,4,：,(,1,，,2,，,3,)=(,t,，,3,t,，,0),B,3,：,(,1,，,2,，,3,)=(3,t,，,2,t,，,0),B,4,：,(,1,，,2,，,3,)=(2,t,，,3,t,，,0),C,3,：,(,1,，,2,，,3,)=(,2,t,，,t,，,0),C,4,：,(,1,，,2,，,3,)=(,t,，,2,t,，,0),因此，根据这些点的数据，可以作出在,1,2,空间中的屈服面。容易证明,Mises,屈服条件 通过以上所有屈服点。,考察图,5-11,中的角点,B,。它的两侧面，,AB,面和,BC,面的方程分别为：,对,AB,面,同理，对,BC,面有,角点,B,处的塑性应变增量可以,AB,面和,BC,面上的塑性应变增量的线性组合得到。,A,B,C,其中,1,2,3,四、几种理论的总结与比较,名称,类型,材料,应变,大小,屈服条件,应力应变关系,Levy-,Mises,增量,理想刚塑性,小应变增量,Mises,Prandtl-Reuss,增量,理想弹塑性,小应变增量,Mises,简单加载理论,全量,弹塑性强化,小应变,Mises,Hency,全量,理想弹塑性,小应变,Mises,Nadai,全量,刚塑性强化,小应变,Mises,与增量理论相比，全量理论应用起来方便得多，因为它无须按照加载路径逐步积分。全量理论的加载路径允许和简单加载路径有一定的偏离。这样造成的误差有时并不大，比如屈曲分析。,讨论,:,平衡方程为,:,几何关系为,:,本构方程为,:,弹性解,:,当,P,足够小时,三杆均处于弹性状态,应力与应变成比例,.,由于,故,因为,所以,杆,1,最先到达塑性状态,当,于是桁架开始出现塑性变形的载荷为,P,1,称为弹性极限载荷,弹塑性解,:,由基本方程可得,当,桁架全部进入塑性状态，对应的载荷为,塑性解,:,由基本方程可得,在,P,由零逐渐增加（单调加载）的过程中，桁架变形可以分为三个不同的阶段,例一薄壁圆管同时受拉,扭和内压作用，有应力分量,泊松比求：,（）当应力分量之间保持比例从零开,始加载，问多大时开始进入屈服？,（）开始屈服后，继续给以应力增量，满足,及求对应的及值,分别对,Mises,和,Tresca,两种屈服条件进行分析,Mises,：,屈服准则为,代入上式得到,屈服后，增量本构关系为：,Tresca,：,因为,所以，屈服准则为：,将其展开后得,将该式微分，得,时达到屈服,简例,3:,讨论矩形截面梁的弹塑性纯弯曲问题,设截面高为,h,宽为,b,，材料是理想弹塑性的梁，两端受到弯矩,M,作用。,设梁无论是处于弹性状态还是塑性状态，材料力学中的平面假设仍成立，且截面上只有正应力作用，其它应力分量都为零。对于纯弯曲情形，可以证明这两个假定在圣维南意义下是精确成立的。即满足平衡方程、应变协调方程、应力,应变关系和圣难南边界条件。,取,轴为中性轴，则由力的平衡关系可知，梁中正应力,满足如下关系,(5.4-1),式,(5.4-1),中的第二式表示轴向力等于零，正应力,应为对称分布，因此表示弯矩的第一式方可写成后一形式。,1),弹性阶段,由平面假设,(5.4-2),式中,分别为曲率和曲率半径。若规定挠度,向下为正，则在小变形条件下曲率与挠度的关系为,当弯矩,M,从零开始增加，梁的截面先处于弹性阶段，则其应力为,(5.4-3),将式,(5.4-3),代入式,(5.4-1),中的第一式，得,其中,(5.4-4),从,(5.4-4),式可知，弯矩,M,与曲率,k,呈线形关系，且,将它代入式,(5.4-5),式,(5.4-5),与材料力学的结果完全一样，表明应力,在梁的横截面呈线性分布，即与,成比例，且随着弯矩,的增加，梁的上下最外层最先达到屈服应力，对应的弯矩称为弹性极限弯矩，记为,。由,(5.4-5),式可得,弹性极限弯矩,为,(5.4-6),记梁处于弹性极限弯矩状态下的曲率为,，则由,(5.4-4),式得,(5.4-7),2,）弹塑性阶段,当,，梁截面中外层纤维的应变继续增大，而应力值仍你持为,塑,性区逐渐向中性轴方向扩展，但整个截面尚未完全进入塑性，其应力分布如图,(5.4c),所示，,(a)(b)(c)(d),图,5.4,梁横截面随弯矩增大的应力分布示意图,设弹塑性交界面为,，则各部分应力为：,(5.4-8),由于交界面处的应力为,，即,由上式可得相应的曲率,与,为,(5.4-9),显然，,是,的函数，其符号与,相同。此时，截面上的弯矩为,(5.4-10),得,(5.4-11),由式,(5.4-10),可见，随着,的增加，,将逐渐减小，最后,这时梁的整个截面的应力达到,，如图所示，记此时的弯矩为,并称为,塑性极限弯矩,。,由式,(5.4-10),得塑性极限弯矩,为,为截面形状系数。对于矩形截面,采用类似的分析方法可求出其它对称截面梁的,值。如工字梁截面,，圆截面,，薄壁圆管为,(,.,-11),由,(5.4-11),的第一式可得弹塑性阶段的曲率为,屈服,阶段，但中间部分尚处在弹性阶段，根据平面假设的变形特性使塑性变形的大小受到了限制，即处于约束塑性变形阶段，且将随着梁的曲率而增大，这时梁的,曲率完全由中间的弹性部分所控制,。最后,梁的弯矩达到,塑性极限,弯矩,即整个截面都处于,塑性状态,.,需注意的是，当,后，上下边的部分区域己进入,塑性,习题,5-1,用逆解法求解圆柱体的扭转问题,3.3,悬臂梁受均匀分布载荷作用,不计自重的悬臂梁受到均匀分布的载荷作用,也可以采用多项式的叠加求解,现考虑另外一种方法,.,q,O,L,y,x,y,h/2,1,h/2,z,O,幻灯片,79,弯曲应力 主要由弯矩产生的,剪应力 主要是由剪力,Q,产生的,而挤压应力 主要由载荷,q,产生的,现因,q,为常数,所以,可以假定,对于不同的 的分布相同,也就是说,仅仅是,y,的函数,即,于是有,:,而,这里的 和 是,y,的任意函数,.,这个应力函数必须满足双调和方程,所以,代入双调和方程后,得,(a),函数,和 必须满足,这是,x,的二次方程,但是它有无穷个根,(,梁内所有的,x,都满足它,),因此,方程的系数和自由项应该等于零,即,根据前面两个方程,有,根据第三个方程,有,积分该式,(b),(c),将式,(b),(c),代入应力函数,(a),得,因此得到应力分量为,这些应力分量是满足平衡微分方程和协调方程,.,(d),边界条件为,:,(f),(e),(g),根据边界条件,(g),的第三式可得,根据边界条件,(e),和,(f),可得,将系数代入应力分量得,幻灯片,75,再由边界条件,(g),的前面两式可得,代入应力分量,且有 可得,这个应力表达式和材料力学结果比较,可以发现剪应力与材料力学一样,正应力 增加了一个修正项,:,根据材料力学的方法,在圆拄体扭转时,截面上发生与半径垂直且与点到圆心的距离成正比例的剪应力,这里 表示单位长度的扭转角,.,将 向,Ox,和,Oy,轴方向分解,其中,假设其余的应力分量全为零,则,上面的解在体力为零时,是满足平衡微分方程的,.,现在校核是否满足边界条件,.,边界条件,(,侧面,).,在圆柱侧面上,有,将应力代入上面,应力满足圆柱侧面上的边界条件,.,考察圆柱的两端,在,z,=,l,处,边界条件变为,:,即,:,如果他们也静力等效于扭矩,M,则应力分量,静力上等效于扭矩,M,而其具体分布情况是不清楚的,因此,对应力分量,也只能从放松的意义上要求它们满足,z=L,这一端的边界条件,根据题设条件,作用于,z=L,端面上的外力,就是圆柱体扭装时的解,事实上端面上的,主矢投影,为,:,端面上的,主矩,为,:,例,6.1,设一简支梁的中部上、下两表面，在,范围内对称地作用均布载荷,.,(,如图,6.7,所示,),。,如此梁的厚度为,1,个单位，不计体力，,试求其应力分量。,图,6.7,局部受均布载荷简支粱,解：首先将载荷展开为富,里叶级数，最普遍的情况下，,上部边界,(,),和下部边界,(,),的载荷分别表示为,(1),注意载荷实际作用区域为,(2),式中,表示整个梁的均匀分布载荷，式,(1),中的全部系数均,可用富里叶系数的公式求出。,由图,6.7,可知，所示载荷对称于,轴，是,的偶函数，故式,(1),的展开式只含,及余弦项，其中,(3),而系数,可由载荷展开式,运用通常求富里叶系数的办法，两边乘以,，并在区间,积分，有,由此可得,由于,为任意整数，所以可换成,，于是得,同理也可得,。,(4),将,代入上式可得,(5),由于常数,的存在，,该问题可理解为上、下分别作用均布载荷,，,再加上后面的三角级数所表示的载荷,。,于是，可以分别计算每一部分载荷所产生的应力，然后再叠加。,对于上、下面作用均布压缩载荷,，相应的应力分量为,(6),而,，,这些载荷所产生的应力分量，可依据应力函数表达式求得，即,(7),式中,，各个常数可由边界条件确定
展开阅读全文