正方形的定义、性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,知识回顾,:,定义,边,角,对 角 线,对 称 性,平行,四边形,矩 形,菱 形,几种特殊四边形的定义及性质,对边平行,且相等,对边平行 且相等,对边平行,，四边都,相等,对角相等，,邻角互补,四个角,都是直角,对角相等，邻角互补,对角线,互相平分,对角线相等,且互相平分,对角线互相,垂直平分，,每条对角线,平分一组对角,中心对,称图形,轴对称,图形、,中心对,称图形,轴对称,图形、中,心对称图形,两组对边,分别平行,的四边形,有一个角,是直角的,平行四边,形,有一组邻,边相等的,平行四边,形,画一画，猜一猜,请同学们画一个四边形，,要求它既是,矩形,又是,菱形,。,正方形,数学,八年级,(上册),探究小结,矩 形,正方形,邻边,相等,发现：,一组邻边相等的矩形 是正方形,菱 形,一个角,是直角,正方形,发现：,一个角为直角的菱形是正方形,正方形定义,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形,定义：有一组邻边相等,并且,有一个角是直角的,平行四边形,叫做正方形。,一个角是直角,一个角是直角,一个角是直角，一组邻边相等,一组邻边相等,一组邻边相等,平行四边形的对边平行且相等,平行四边形的对角相等,平行四边形的邻角互补,平行四边形的对角线互相平分,性质：,特有性质：,矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等,特有性质：,菱形的四条边都相等,菱形的两条对角线互,相垂直，并且每一条,对角线平分一组对角,性质：,正方形两组对边平行，,四条边都相等,正方形的四个角都是直角,正方形的对角线相等，互,相平分且垂直，并且每一,条对角线平分一组对角,正方形性质,边,角,对角线,对称性,图形语言,文字语言,符号语言,A,C,D,B,A,C,D,B,A,C,D,B,O,对边平行，四条,边都相等,四 个 角,都是直角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,四边形ABCD是正方形,ABCD ADBC,AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是正方形,A=B=C=D,=90,四边形ABCD是正方形,ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,1=2=3=4=5=6=7=8,轴对称图形 中心对称图形,1,2,3,4,5,6,7,8,A,B,C,D,O,正方形中,：（,按组说）,1、相等的边有哪些？,2、相等的角有哪些？,3、等腰三角形有哪些？,4、直角三角形有哪些？,5、全等三角形有哪些？,例,求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,这是一道文字证明题,该怎么做?你会做吗?,第一步:根据题意画出图形,第二步:写出已知、求证,第三步,：,进行证明,A,D,C,B,O,已知:如图,四边形ABCD是正方形,对 角线AC、BD相交于点O.,求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.,证明:四边形ABCD是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.,ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形,并且,ABO,BCO CDO DAO,分析:,利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.,平分,可以产生,线段等量关系,垂直,可以产生,直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.,平行四边形,矩形,菱形,正,方,形,平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图,例题解析,1.已知:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?,定义：有一组邻边相等,并且,有一个角是直角的,平行四边形,叫做正方形。,例2,如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，,分析：,要证明BMCN，大家观察,图形可以考虑证哪两个三角形全等?,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，,求证：BMCN。,你能完成证明吗?,ABBC，1245,条件够吗？,还需要的条件是 AMBN,ABMBCN,你所要证明的两个三角形已经满足,了哪些条件?,由正方形可以得到的条件有：,例2,如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。,证明：,四边形ABCD是正方形 OAOB,12345 又MNAB,OMN13ONM45 OMON OAOMOBON 即AMBN,下面大家自己完成证明,练习1,已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且ABacm，如图(2)。,求：AC的长及正方形的面积S。,练习2,已知：在正方形ABCD中，对角线AC、,BD相交于点O，且AC6 cm，如图,求：正方形的面积S。,例3,已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线,上一点，CEAF于E，交AD于M，,求证：MFD45,分析：,欲证MFD45，由于,MDF是直角三角形,只须证MDF是等腰三角形,即只要证,_=_,要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等?,试一试,看能不能完成证明,?,CMDADF,例3,已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45,证明：,CEAF ADCAEM90 又CMDAME 12又CDAD，ADFMDCRtCDMRtADF(AAS)DM=DF,下面的证明请大家完成,练习,如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1)ACFDCB,(2)BHAF,证明：,例4,如图(6)，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：CEAABG,分析：,欲证CEAABG，,大家想一想证明两个角相等的方法，,你有办法了吗？通过自己的努力，看能不能解决问题？,证明：,四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC,90BAC,BAG2BAC,90BAC,EACBAGAECABG(SAS),CEAABG,2.已知:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?,求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形,例题赏析,在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想,G,F,E,D,A,B,C,