向量及其代数运算

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数量关系,第八章,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式,点,线,面,基本方法,坐标法;向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其线性运算,第,八,章,表示法:,向量的模:,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称,矢量,).,既有,大小,又有,方向,的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段,M,1,M,2,或,a,规定:,零向量与任何向量平行,;,若向量,a,与,b,大小相等,方向相同,则称,a,与,b,相等,记作,a,b,;,若向量,a,与,b,方向相同或相反,则称,a,与,b,平行,a,b,;,与,a,的模相同,但方向相反的向量称为,a,的,负向量,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量,共线,.,若,k,(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此,k,个向量,共面,.,记作,a,;,二、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,2.向量的减法,三角不等式,3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,可见,与,a,的乘积是一个新向量,记作,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,定理1.,设,a,为非零向量,则,(,为唯一实数),证:,“”.,取,且,再证数,的唯一性.,则,a,b,设,a,b,取正号,反向时取负号,a,b,同向时,则,b,与,a,同向,设又有,b,a,“”,则,例1.,设,M,为,解:,ABCD,对角线的交点,已知,b,a,b,0,a,b,同向,a,b,反向,a,b,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x,轴(横轴),y,轴(纵轴),z,轴(竖轴),过空间一定点,o,坐标面,卦限,(,八个,),zox,面,1.空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点,P,Q,R,;,坐标面上的点,A,B,C,点,M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点,M,的,坐标),原点,O,(0,0,0);,坐标轴:,坐标面:,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点,M,则,沿三个坐标轴方向的,分向量,.,的坐标为,此式称为向量,r,的,坐标分解式,任意向量,r,可用向径,OM,表示.,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,例2.,已知两点,在,AB,直线上求一点,M,使,解:,设,M,的坐标为,如图所示,及实数,得,即,说明:,由,得,定比分点公式:,点,M,为,AB,的中点,于是得,中点公式,:,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,例3.,在,z,轴上求与两点,等距,解:,设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在,xoy,面上与,A,B,等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与,A,B,等距离之点的轨迹方程?,离的点.,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,例4,.,已知两点,和,解:,求,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点,O,称,=AOB,(,0,),为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其,方向角,.,方向角的余弦称为其,方向余弦.,记作,方向余弦的性质:,例5.,已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,例6,.,设点,A,位于第一卦限,解:,已知,角依次为,求点,A,的坐标.,则,因点,A,在第一卦限,故,于是,故点,A,的坐标为,向径,OA,与,x,轴,y,轴的夹,练习题,解:,因,1.,设,求向量,在,x,轴上的投影及在,y,轴上的分向量.,在,y,轴上的分向量为,故在,x,轴上的投影为,2.,设,求以向量,行四边形的对角线的长度.,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,