D92二重积分的计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二节,二、利用直角坐标计算二重积分,三、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第九章,一、曲顶柱体体积的计算,一、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同样,曲顶柱体的底为,则其体积可按如下两次积分计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、利用直角坐标计算二重积分,且在,D,上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若,D,为,X,型区域,则,若,D,为,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,(1),若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域,为计算方便,可,选择积分序,必要时还可以,交换积分序,.,则有,(2),若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-,型域或,Y,-,型域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,计算,其中,D,是直线,y,1,x,2,及,y,x,所围的闭区域,.,解法,1.,将,D,看作,X,型区域,则,解法,2.,将,D,看作,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,计算,其中,D,是抛物线,所围成的闭区域,.,解,:,为计算简便,先对,x,后对,y,积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,计算,其中,D,是直线,所围成的闭区域,.,解,:,由被积函数可知,因此取,D,为,X,型域,:,先对,x,积分不行,说明,:,有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,交换下列积分顺序,解,:,积分域由两部分组成,:,视为,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,计算,其中,D,由,所围成,.,解,:,令,(,如图所示,),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P95,1,(1),(4),;,2,(3),(4),;,5;,6,(2),(4),;8.,作业,对应有,三、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆,r,=,常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线,=,常数,分划区域,D,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则,特别,对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,f,1,则可求得,D,的面积,思考,:,下列各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答,:,问,的变化范围是什么,?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,计算,其中,解,:,在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注,:,利用例,6,可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当,D,为,R,2,时,利用例,6,的结果,得,故式成立,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,求球体,被圆柱面,所截得的,(,含在柱面内的,),立体的体积,.,解,:,设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1),二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形,:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,极坐标系情形,:,若积分区域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(,先积一条线,后扫积分域,),充分利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.,交换积分顺序,提示,:,积分域如图,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,2.,计算,其中,D,为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P95,11,(2),(4),;,13,(3),(4),;,14,(2),(3),;,15,(1),(4),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,